Vierter Teil.

Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen. - Anwendungen und Ergänzungen zu den vorhergehenden Teilen.

Kapitel I.

Wurzelziehung und Winkelteilung durch algebraische Kurven.

Von höheren algebraischen Konstruktionen kommt in erster Linie die Ziehung der nten Wurzel in Betracht, d. h. z. B. im Strahlenbüschel die Konstruktion desjenigen Strahles X, für den:

(IIKX)" = (IIKM)

ist, bei gegebenen Strahlen 3, I, K, M.

Dem Fall, daß die beiden Strahlen 3, 3 konjugiert imaginär sind, entspricht in der metrischen Geometrie, wenn die beiden konjugiert imaginären Strahlen durch die beiden Kreispunkte gehen (s. S. 39), die Aufgabe, den Strahl X so zu konstruieren, daß

Die projektive Aufgabe läßt sich nach S. 49 zur projektiven Teilung eines Kegelschnittbogens in Beziehung setzen. Ist der Bogen XX durch die Punkte X, X, ..., X-1 ge-n-telt, so folgt, daß: (IJ XX1)" = (IJX X1) (IJX, X2)... (IJX-1 X2) = (IJX, X2)

ist.

n

2

n

Bei der dualen Übertragung tritt an Stelle des Bogens XX der (projektive) Winkel der Tangenten in X, und X, die projektive Verallgemeinerung der „curvatura integra“.1)

1) Die Auffassung des Richtungsunterschiedes am Anfang und Ende eines Bogens als Totalkrümmung desselben findet sich schon bei J. H. Lambert, Beiträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung II (Berlin 1770), p. 253; dort auch schon p. 254 die Teilung in Bogen gleicher Totalkrümmung, das duale Analogon zur Teilung in Bogen gleicher Länge.

Auflösungen dieser Aufgaben sind bisher nicht gegeben worden. Doch ergeben sich solche durch projektive Verallgemeinerung der für die metrische Aufgabe gegebenen Lösungen. Von diesen geben wir im folgenden die wichtigsten.

Für die Wurzelziehung kommen die Parabeln und Hyperbeln höherer Art:

y=x", y"x"= 1

die höheren Lemniskaten r,"r"= 1 usw.

1,

Mit jeder der genannten

Kurven kann man sowohl die mte wie die nte Wurzel aus einem Streckenverhältnis konstruieren.

Denn, da m und n teilerfremd anzunehmen sind, kann man die ganzen Zahlen h, k aus der Diophantischen Gleichung hmkn 1

bestimmen; hat man nun z. B. y" konstruiert, so erhält man daraus

+

1

y.Vy usw.

Für die Winkelteilung kann man die allgemeinen Strophoiden 2) benutzen, deren Gleichung in bipolaren Winkelkoordinaten

mp + ny + p =

= 0

lautet; der spezielle Fall m = 2n, p=0 ist der der gleichachsigen Hyperbel (s. S. 38), ein anderer Spezialfall m=-2n, p0 liefert die spezielle Strophoide (s. S. 91 Anm. 1). Eine solche allgemeine Strophoide gestattet einen Winkel zu n-teln, wenn außerdem der Winkel bekannt ist; denn dann findet man durch die Kurve

p
+

n

n

n

n

Р bzw. werden durch die Richtungen der Tan

n

genten in den beiden Polen gegeben, die man sich konstruieren kann. Mit Rücksicht auf den Winkel der zwei Radien eines Kurvenpunktes

1) A. Clairaut, Misc. Berol. IV (1734); Loria l. c., p. 321.

2) W. W. Johnson, Am. Journ. III (1880), p. 320. E. Barnes, J. Hopk. Univ. Circ. II (1883). Loria 1. c., p. 70.

liefert die Kurve auch die mn Teilung, falls noch der Winkel p bekannt ist. Dieser wird durch die Asymptotenrichtung ge

m-n

geben.

Zu diesen Kurven gehören insbesondere Schoutes Sektrixkurven 1): mo = n (180°).

Verlegt man den Scheitel der Winkel in Unendliche, so geht das zugehörige Strahlbüschel in ein Parallelstrahlenbüschel über, und die Gleichung der Kurve kann man dann schreiben:

=

y=mo+p oder r sin q mp +p;

es ist die von Chasles) betrachtete verkürzte oder verlängerte Quadratrix, während man für p = 0 die Quadratrix des Hippias bzw. Dinostratus erhält.") Diese Kurven gestatten zu jedem Winkel o eine proportionale Strecke y-p und umgekehrt zu finden, also auch einen beliebigen Winkel in gegebenem Verhältnis zu teilen.

Andere Spezialfälle der Strophoiden sind die Kurven von Hesse1)

sin (n - 1) q
sin no

r =

liefern ohne weiteres die n-teilung. 6)

Weniger auf der Hand liegt das bei den Sinusspiralen mit der

Gleichung

ihre Anwendung zur n-Teilung beruht darauf, daß die Normale der Kurve im Punkte (r, q) mit dem Radius r den Winkelbildet.

n

Cevas anomale Zykloiden) hatten wir schon S. 82 erwähnt. Man erhält sie, wenn man den Schenkel PP, PP

um Po dreht und

1) Journ. de math. spéc. (2) IV, 1885. Loria 1. c., p. 325.

2) Aperçu historique (2. Aufl., Paris 1875), p. 32, Anm. Fouret, Nouv. ann. (3) V, 1886. Loria l. c., p. 415.

3) Pappus 1. c., p. 250; s. Loria l. c., p. 410.

4) Hesse, Üb. d. Teil. d. Winkels, speziell d. Tris. (Montabaur 1881); Loria 1. c., p. 335. 5) Archiv (2) I (1884), p. 87; Loria l. c., p. 339. 6) S. Loria 1. c., p. 297. 7) S. Loria 1. c., p. 324.

2

P3

...

die Strecken P1P2 = P2P ̧= PP ihre Länge 1 beibehalten. Die Punkte P1, P3, P5, ... beschreiben die Cevaschen Zykloiden. Die von P1 beschriebene liefert Dreiteilung, weil immer

ist; die von P, beschriebene gibt Fünfteilung, weil immer

da man sofort der Figur entnimmt:

1+2 cos 2+2 cos 4p+...+2 cos 2kp: sin (2k+1) = 1:sino. Kempe1) verallgemeinert die Erzeugung der Pascalschen Schnecke

180°-POQ,30Q, P, 180°- POQ2 = 50Q, P usw.

Damit ist die Anwendung der Kempeschen Kurven zur Teilung in 3, 5, ..., 2 + 1 Teile vorgezeichnet. Eine zweite Reihe von Kurven erhält man ebenso durch die Punkte Q1, Q, Qs', ..., für welche

QiQ'P'Q', Q2'Q1 = P'Q' usw.

ist. Infolgedessen ist

OP'Q' = 30Q1'P', OP'Q2'=7OQ,'P' usw.,

2

1) Nieuw Archiv voor Wiskunde (2) I (1894). Mém. de Liège (2) XX (1898). Loria 1. c., p. 339.

was zur Teilung in 2-1 Teile zu benutzen ist. Nun ist für irgendeine Primzahl p stets

2o = (1 + 1)2 = 1 + ( 2 ) + ( 2 ) + · · · + (?)

+ (2) + 1,

p-1

also 2o 2 durch p teilbar; also ist p entweder in 22+1 oder in

p-1

221 als Faktor enthalten, die Teilung in p Teile also durch eine der obigen Kurven ausführbar. Allgemeiner ist jede Zahl n in einer der Zahlen 21 als Teiler enthalten.

Eine gezeichnet vorliegende algebraische Kurve kann eine dieser beiden Aufgaben natürlich nur für bestimmte Werte von n lösen. Will man diese Aufgaben für beliebiges n lösen können, so muß man zu transzendenten Kurven greifen.

sind:

Kapitel II.

Transzendente Konstruktionen.

Transzendente Kurven zur Winkelteilung

1. Die Archimedische Spirale1), deren Gleichung in Polarkoordi naten lautet:

Man erhält den Winkel als den Winkel, der zum Radius

gehört.

ф n

1) Archimedes, ITɛgì lixov, ed. Torelli, p. 217. Pappus 1. c., p. 234. Loria l. c., p. 426. Über die Anwendung zur Winkelteilung berichtet Proklus (ed. Friedlein), p. 272.

2) Varignon, Mém. de Paris 1704 (Paris 1722); Joh. Bernoulli, Opera omnia (Lausanne und Genf 1742) I, p. 480. Loria 1. c., p. 426. 3) Jac. Bernouilli, Acta erud. Jan. 1691, p. 13 Opera I, p. 431; Joh. Bernouilli, Acta erud. Jan. 1691, p. 13 Opera I, p. 46. Loria l. c., p. 439.

=