Formel U+u, der angegebenen regulären Teilung eine solche, bei welcher jede Seite des umschriebenen Vielseits den kleinsten Abstand vom Schnittpunkte der vorhergehenden und nachfolgenden hat, usw. Schließlich gehe man von der Kugel wieder auf die Ebene zurück. So erhält man das Resultat: für elliptische Bogen liefert das harmonische Mittel aus U und u (mit den Gewichten 1:2) die beste Rektifikation bei der angegebenen Wahl der Zwischenpunkte. Entsprechend erhält man für hyperbolische Bogen durch die Pseudosphäre (Nicht-Euklidische hyperbolische Ebene), daß das arithmetische Mittel aus U und u (mit den Gewichten 1: 2) die beste Rektifikation bei der angegebenen Wahl der Zwischenpunkte liefert.

Für die wirkliche numerische Approximation wird man stets einfach nach den logarithmischen Formeln:

rechnen; da eine Einteilung eines Bogens in elliptische und hyperbolische Teile, und die Aufsuchung der besten Zwischenpunkte unnötig kompliziert wäre. Für das wirkliche Abgreifen der Entfernungen sind Formeln wie:

Zur approximativen Rektifikation des Ellipsenquadranten mit den Halbmessern a >b gibt Schlömilch1) die Formel:

die stets zwei richtige Dezimalstellen gibt; der Fehler erreicht nie 600 von a. Die Koeffizienten sind nach der Methode der kleinsten Quadratsummen bestimmt.

Mechanische Komplanationen und Kubaturen findet man bei Heron), Kepler3), Lambert1), Geisenheimer) u. a.o)

1) Schlöm. Ztschr. 10 (1865), p. 501.

2) Metrica ed. H. Schöne (Leipzig 1903).

3) Stereometría doliorum, Opera omnia ed. Frisch, Francoforti et Erlangae 4 (1863), p. 545.

4) Beyträge I, p. 314.

5) Schlöm. Ztschr. 30 (1885), p. 325.

6) Cantor IV, p. 371.

Sechster Teil.

Analytische Approximationen.

Kapitel I.

Algebraische Hilfssätze.

Wurzeln und Linearteiler.

Die Summationsformel der geometrischen Reihe

- yn = x2-1 + x2 - 2y + x" -3y2+

X

liefert für ganze Funktionen":

f(x) = a + bx + c x2 + ··· + kx2

Ist also y eine Wurzel der Gleichung f(y) = 0, so ist f(x) durch xy geteilt eine ganze Funktion von x. Sind X1, X2, ..., xn n

Wurzeln von f(x) = 0, so ist also f(x) durch (x-x1)(x-x) (x-x) teilbar, also:

f(x) = k(x − x1) (x − x2) · · · (x — Xn) ·

Eine nicht identisch erfüllte Gleichung nten Grades kann mithin nicht mehr als n Wurzeln haben.

Ableitung.

Jeder ganzen Funktion f(x) wird eine ganze Funktion f'(x), ihre „Ableitung“ 1) eindeutig derart zugeordnet, daß die Gleichungen gelten 2):

1) Von Crelle eingeführt; richtiger wäre,,Abgeleitete" (sc. Funktion). 2) Die folgende formale Theorie der Ableitung (s. Vahlen, Acta math. 21 (1897), p. 294) ist in den Elementen völlig ausreichend. Sie genügt z. B. für die Theorie der Doppelwurzeln, Maxima und Minima, Tangenten, Wendepunkte, Krümmungen usw.

für jede Konstante C.

Daraus folgt z. B.:

allgemein:

(f + g)' = f' + g',

(fg)' = f'g + fg',

x' = 1,

C' = 0,

(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh',

·

(fof1· · ·fr)' = fo'fi · fr + fofs' fa・・・ fr+ fof1 fr-ifr', wie durch den Schluß von n auf n + 1 zu beweisen ist. Setzt man speziell:

also für irgendeine ganze Funktion:

(a + bx + cx2 + dx3 + · · ·)' = b + 2cx + 3dx2 +

Ist fgh, so ergibt sich aus f' = g'h + gh', daß h' oder

Dies ist für den Fall hergeleitet, daß eine ganze Funktion

f g

f

ist, muß also für den Fall, daß keine ganze Funktion ist, als Definition angenommen werden.1)

Ebenso ist es möglich, wovon wir aber keinen Gebrauch zu machen haben, die Ableitung einer Funktion y = F(x) zu definieren, welche durch eine Gleichung:

f(x)+g(x)y + h(x) y2 + · · · = 0

als implizite Funktion von x gegeben wird.

1) Das ist also eine Anwendung von Hankels Prinzip der Permanenz der formalen Gesetze; s. dessen Theorie der komplexen Zahlensysteme (Leipzig 1867) p. 10.

Mehrfache Teiler.

Von der Ableitung machen wir folgende wichtige Anwendung: Angenommen, f enthalte die irreduzible Funktion g in der ten und keiner höheren Potenz als Faktor:

f = g′′h,

wo also h nicht durch g teilbar ist; dann folgt aus:

f'=g-1(rhg'+gh'),

daß die irreduzible Funktion g in f' gerade (-1)-mal enthalten ist. Der Faktor (rhg'+gh) kann nämlich nicht durch g teilbar sein, da h zu g teilerfremd ist, während der Grad von g um eine Einheit kleiner ist als g. Also ist f' gerade durch gr-1 teilbar.

f

Insbesondere, wenn mit der Gemeinteiler höchsten Grades von f und f" bezeichnet wird, so ist f, sicherlich durch gr-1 teilbar, f' aber durch keine höhere Potenz von g; folglich ist eine ganze f1 durch g nicht teilbare Funktion. Dasselbe gilt für jeden irreduktiblen Faktor von f; also ist durch keinen Faktor von f teilbar.

f'
f1

Umgekehrt, ist der höchste Gemeinteiler von f und f', den man übrigens nach Kronecker mit (f, f') zu bezeichnen pflegt, durch gr-1 teilbar, also etwa (f, f) = gr-1h, wo g eine irreduzible Funktion und h nicht mehr durch g teilbar ist, so folgt, daß f durch g', aber durch keine höhere Potenz von g teilbar ist. Denn, sei

so wird

f=gr-1k,

f' = g′′ — 2 ((r — 1)g′k+gk'),

wo nun der Klammerausdruck und damit k durch g teilbar sein muß, d. h. es muß f mindestens durch g' teilbar sein, während aus dem vorhin bewiesenen Satz folgt, daß f durch keine höhere als die te Potenz von g teilbar sein kann. Daraus ergibt sich dann der wichtige Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß f und fteilerfremd sind, besteht darin, daßf keine mehrfachen Teiler besitzt.

Formeln von Taylor und Lagrange.

Von der Ableitung machen wir eine andere wichtige Anwendung. Zunächst ist der Begriff einer Ableitung höherer Ordnung einzuführen. Die zweite Ableitung einer Funktion ist die Ableitung der ersten Ableitung; ebenso ist die dritte Ableitung die Ableitung der zweiten usw. Dann können wir die Binomialformel, die wir weiter unten beweisen:

=

mit Rücksicht auf (œ*)' — ka*-1, (ka*−1)'= k(k—1) a-2, usw. schreiben:

"

3 ૐ

(«+§)* = a* ·+ («*)' §; + (œ*)'' §* + (œ2)'' §, +
+ ··· + (a*) (*)

1!

2!

3!

...

Multiplizieren wir diese mit einem Zahlenfaktor a, geben k die Werte von 0 bis n und summieren die so entstehenden Gleichungen, so bekommen wir:

"

f(a + §) = f(a) + }; f'(a) + 1⁄2 [ƒ” («) + · · · + — [f(1) (α).

1!

;f"

2!

Das ist die sogenannte Taylorsche Formel1); sie geht durch die Substitution:

f(x) = f(x) +

+ (x — α)". Eine Funktion f(x) von höherem als ten Grade wird durch diese Formel

näherungsweise dargestellt, und zwar in der Weise, daß die Näherungsformel an der Stelle x = a den richtigen Wert für f(x) und die Ableitungen bis zur nten Ordnung einschließlich gibt, oder, daß die Gleichung

die (n+1)-fache Wurzel x=α hat. Wir nennen das: oskulierende Approximation der Ordnung n.

Es sei g(x) eine ganze Funktion vom Grade <n. Wir betrachten die Gleichung (Lagranges

einsetzen, also mit Rücksicht auf S. 215 identisch gilt.

1) Brook Taylor, Methodus incrementorum directa et inversa. London 1717.

Cap. 97.