· [h+i+ -- (n + 1) (p+1)] · · · [h+i+np] (− 1)» Σ ( − 1 )' +*+ · · · (?) (7)· h(h-1)... (npik). (p-1)! i. k, 0, 1, ... p h+i+k+≥ (n + 1) p Es ist leicht zu zeigen, daß bei wachsendem p die Größe R beliebig klein wird. Ist nämlich μ der größte der Werte α, lα, so wird zunächst: statt h der neue Summationsbuchstabe 6 eingeführt ist. Durch Zusammenfassung derjenigen Glieder, in denen: Diese Ungleichung muß um so mehr stattfinden, wenn man darin: ersetzt. Vergrößert man ferner die rechte Seite, indem man durchgehends t = (n-1)p, und dann Eins für Ersetzt man noch (p+6)! durch 6! p!, so erhält man: wo x und K feste positive Größen sind. Multiplizieren wir nunmehr die vorgelegte Gleichung: mit F(a, a', a",..., B, B', B",...) und betrachten die entstehende Gleichung als Kongruenz für die Primzahl p als Modul, so bekommt man rechts die für eine hinreichend große Primzahl p nicht verschwindende ganze Zahl cf(0)g(0), und links wird die Summe der Funktionen G eine symmetrische Funktion sowohl der a, a, a", .. als auch der ẞ, ß', ß', ..., also eine durch p teilbare ganze rationale Zahl. Die verbleibenden Reste sind zusammengenommen absolut kleiner als: 2. AP-1 wo 2 und bestimmte positive Größen sind. Die Reste werden also für hinreichend große Werte p sicher gleich einem echten Bruch sein, womit die Unmöglichkeit der Lindemannschen Gleichung I und damit insbesondere die Transzendenz von e und oder die Unmöglichkeit der Quadratur konstruierbarer Kreis- und Hyperbelsektoren durch algebraische Konstruktionsmittel bewiesen ist. Schlußwort. Damit hat nun auch das letzte große Problem der Alten seine Erledigung, wenn auch in negativem Sinne, und damit unser System der Konstruktionen und Approximationen seinen natürlichen Abschluß gefunden. Denn vergegenwärtigen wir uns die doppelte Wurzel dieser Erkenntnis: die eine ist die Einsicht in das algebraische Wesen der Konstruktionen, die andere die algebraische Approximation der elementaren Transzendenten. Das Resultat hätte in Hinblick auf die Einfachheit der zu seiner Erreichung erforderlichen Mittel schon vor anderthalb Jahrhunderten gefunden werden können, wenn man dem Grundsatz gefolgt wäre: einfache Probleme können durch einfache Mittel erledigt werden. 319 Briot 100 91 Bernoullische Zahlen 261 Brocard 102 anomale Zykloide 106. 107, Joh. 108. 241. 248. 272. Brianchon 1. 17. 19. 41. 52. Anomalie, exzentrische 88. von Kreisen 160 Buteo 292 Buzengciger 278 Caluso 317 Cantor, G. 329. 330 , M. 3. 58. 77-80. 82. Caraccioli 101 Czuber 124. 125 Dahse 278. 279 darstellende Geometrie 170 Delange 102 Delaunay 140 Dehnung 57 elliptische Bogen 213 Ebene 213 Funktionen 4. 169 Encontre 52 Eneström 175. 301 Delisches Problem 77. 80. Engel 140 86. 101 Cardano 55. 58. 62. 219. Differente 167 Enriques 78. 85. 138. 284. Euler 21. 52. 62. 111. 128. 147. 168. 175. 185. 225. Exponentialreihe 230 ff. verhältnis 1. 5. 10. 239 exzentrische Kreisteilung 160 Dorr 293 Dreiteilung d. Lemniskate Faragi, Abul 298 169 Favaro 96. 112 |