mit P(IJKL) zugleich der Peripheriewinkel o abhängig, bloß von K, L, also bloß vom Bogen setzen daher

=

KPL von P un

abhängig; wir

P(IJKL) = eF(p).

Für die Funktion F erhält man sofort eine Funktionalgleichung aus P(IJKL) · P(IJLM) = P(IJKM), nämlich wenn LPM = & gesetzt wird:

F(9) + F(v) = F(9 +4),

also ist F(+4) − F(9) von 9 unabhängig.

Stellt man die Funktion F graphisch dar, so folgt daraus, daß die Kurve y = F(9) bei gleichen Abszissenzuwüchsen um gleiche Ordinatenunterschiede steigen (bzw. fallen) muß, d. h. die Kurve geht durch die Schiebung

9 11 4 + 4

y || y + F(4)

in sich über, eine Eigenschaft, die bekanntlich nur der Geraden zukommt; also ist F(q) eine lineare Funktion von q.

=

Um sie genauer zu ermitteln, berücksichtigen wir erstens, daß für 9 = 0, d. h. KL das Doppelverhältnis P(IJKL) = 1, also F(9) O wird: F() ist also gleich 29, worin 2 eine Konstante ist. Der Wert dieser Konstanten ergibt sich, indem man zweitens K und L in die Endpunkte eines Durchmessers verlegt, dann ist einernach dem Satz des Thales, andrerseits P(IJKL) = — 1,

seits

=

π

2

weil dies vier harmonische Strahlen sind. Folglich ist aus

=

zu bestimmen und hat demnach den Wert 2i. Damit ist mit den denkbar elementarsten Mitteln das wichtige Resultat von Laguerre 2) gewonnen:

Ein Winkel ist der durch 2i dividierte natürliche Logarithmus des Doppelverhältnisses, welches seine Schenkel mit den Kreispunkten bilden. In ähnlicher Weise wird der metrische Begriff der Strecke auf den projektiven des Doppelverhältnisses zurückgeführt. Es seien nämlich A, B, U, V mit den Abszissen a, b, u, v vier Punkte einer Geraden. Das Doppelverhältnis:

2) Laguerre, Nouv. ann. de math. 12 (1853), p. 57-Oeuvres II (Paris 1905), p. 6.

wird für große Werte von u und v nahezu gleich

(1) (1) (1+)(1 +),

also nahe gleich 1+ (b − a) (1 − 1); also sein natürlicher Logarithmus nahe gleich 1)

daraus folgt, indem wir die Punkte U und V in den unendlich fernen Punkt von [AB] verlegen:

Die Strecken einer Geraden sind proportional den natürlichen Logarithmen der Doppelverhältnisse, welche ihre Endpunkte mit dem zweimal zu nehmenden unendlich fernen Punkt der Geraden bilden.

Da der Kreis durch kongruente Strahlbüschel erzeugt wird, so sind seine Asymptoten, also die Kreispunkte auch als Doppelstrahlen einer solchen „zirkularen" Projektivität, also, wie bei jeder, durch drei Paare entsprechender Strahlen AA', BB', CC' bestimmt, die aber hier gleiche Winkel bilden

LAA' = BB' = ▲ CC'.
✩ L

Daraus folgt auf einem neuen Wege, der zugleich den projektiven Grund erkennen läßt, daß die metrisch linearen Konstruktionen ausführbar sind, wenn statt der zwei rechten Winkel drei gleiche Winkel gegeben sind, die man sich natürlich an einen Scheitel parallel verschoben denken kann. Denn man kann zu jedem Strahl P des Büschels den konjugiert harmonischen P' in bezug auf die DoppelA B C X strahlen der Projektivität (x), d. h. in bezug auf die Kreispunkte konstruieren; dann ist aber PP. Ebenso konstruiert man einen zweiten Rechten usw.

„Achsen“ eines Kegelschnitts sind konjugierte Zentralen, die zugleich aufeinander senkrecht stehen. Sie sind also sowohl harmonisch zu den Asymptoten (die ihrerseits das gemeinsame harmonische Paar zu zwei Paaren konjugierter Zentralen sind), als zu den Kreisasymptoten (definiert als gemeinsames harmonisches Paar zu zwei Paaren Senkrechter). Demnach gibt es mit Rücksicht auf S. 5 (oben) bei Mittelpunktskegelschnitten stets zwei reelle Achsen; bei der Parabel ist eine die unendlich ferne Gerade.

,,Brennpunkte" eines Kegelschnitts sind solche Punkte, in denen konjugierte Strahlen aufeinander senkrecht stehen, also eine zirkulare Involution bilden. Berücksichtigt man, daß nach S. 19 (3) sich selbst konjugierte Strahlen Tangenten sind, und daß die Doppelstrahlen einer

1) Daß um so genauer e=1+§, je kleiner § ist, ist die Fundamentaleigenschaft der Zahl e; siehe hierüber Teil V, Kap. 2.

zirkularen Involution durch die Kreispunkte gehen, so kann man die Brennpunkte auch als die Schnittpunkte der von den Kreispunkten an den Kegelschnitt gelegten Tangenten definieren. 1) Also gibt es deren vier. Und da die Geraden, als deren Schnitte sie erklärt sind, paarweis konjugiert imaginär sind, so sind jedenfalls zwei, also auch nur zwei reell. Da ferner jeder Brennpunkt an jeder Achse gespiegelt, aus Symmetriegründen wieder einen Brennpunkt ergibt, so müssen von den vier Brennpunkten die zwei reellen auf der einen Achse, also auf Grund von Poncelets Kontinuitätsprinzip und ebenfalls aus Symmetriegründen die zwei imaginären auf der anderen Achse liegen.2) Die erste heißt,,Hauptachse", die zweite „Nebenachse"; die Sehnen auf ihnen „Hauptdurchmesser", „Nebendurchmesser", deren Endpunkte „Hauptscheitel", „Nebenscheitel". Bei der Parabel liegt nur ein, also reeller Brennpunkt im Endlichen, auf der Achse. Die Polaren der Brennpunkte heißen „Leitlinien".

Aufgaben: Konstruktion der Achse, des Brennpunkts, des Scheitels einer durch vier Tangenten (od. dgl.) gegebenen Parabel. Zunächst liefert der Brianchonsche Satz die Achsenrichtung, dann ergibt eine durch einen Punkt der Parabel zur Achse senkrechte Sehne als Mittellot die Achse, und deren Schnitt den Scheitel, dann eine zu einer gegebenen Tangente senkrechte Tangente einen Punkt der Leitlinie usw. Konstruktion von Punkten, der Achsen, des anderen Brennpunktes, eines Kegelschnitts, wenn ein Brennpunkt und drei Tangenten (oder dgl.) gegeben sind.

1) Diese Eigenschaft der schon Apollonius (lib. III, prop. 45 ff., ed. Halley, p. 205 ff.) und Pappus (1. c. II, p. 1005 ff.) bekannten Brennpunkte fand De la Hire (1. c. p. 189) und erkannte Poncelet in ihrer fundamentalen Bedeutung (Gerg. Ann. VIII(1817/18), p. 1ff., 68 ff., Applic. d'anal. II, p. 455 ff.).

2) Poncelet 1. c.; siehe auch Bret, Gerg. Ann. VIII (1817/18), p. 317 ff.

Zweiter Teil.

Quadratische Konstruktionen.

Algebraische Einleitung.

Unter quadratischen Konstruktionen verstehen wir solche, welche algebraisch gesprochen, außer rationalen Operationen das Ausziehen von Quadratwurzeln erfordern.1) Infolgedessen ist es notwendig, vorweg die durch bloße rationale Operationen und Quadratwurzelausziehungen gebildeten,,quadratischen Irrationalitäten" zu betrachten.")

Kommt in einem solchen Ausdruck nur eine Wurzel VR vor, die nicht auszuziehen ist, so ist er von der Form

Erweiterung mit cdVR von der Form

x = A + BVR
A+

a+by R

c+dVR

und genügt einer irreduzibeln Gleichung zweiten Grades:

x2 − 2Ax + (A2— B2R) = 0.

oder nach

(1)

Ein solcher Ausdruck heiße von erster Stufe. Sind A, B, R, aber nicht VR selbst von erster Stufe und VR, die darin vorkommende Wurzel, so heißt x von zweiter Stufe. Die Gleichung für x erhält man dann, wenn man die Gleichung (1), die von der Form

f(x)+g(x)VR1 = 0

ist, durch Multiplikation mit f(x) — g(x)VR, rational macht. Sie wird also vom vierten Grade.

Ein quadratisch irrationaler Ausdruckter Stufe ist ein Ausdruck, in welchem Quadratwurzeln vorkommen, von denen der Radikand einer jeden, aber nicht die Wurzel selbst, rational von den vorher

1) Ebenso unter kubischen solche, welche Quadrat- und Kubikwurzeln erfordern. Diese Terminologie ist offenbar zweckmäßiger als die von F. London (Schlömilchs Ztschr. 41 (1896), p. 129) und A. Adler (Konstruktionen (Leipzig 1906), p. 250), welche unter quadratischen, kubischen, biquadratischen Aufgaben. solche verstehen, die auf eine Gleichung zweiten, dritten, vierten Grades führen. 2) Vgl. hierzu Vahlen, Acta math., Bd. 21 (1897), p. 287.

gehenden abhängt. In einem solchen Ausdruck denken wir uns sämtliche Nenner rational gemacht, ferner sämtliche Wurzeln soweit wie möglich ausgezogen, z. B.:

oder

V11+6√2=3+ √2 1)

V13+9√/2 = (1+V2) V3 +V2 u. dgl.

Ferner denken wir uns die Anzahl der Wurzeln soweit wie möglich reduziert, z. B.:

VA+BVR+VA-BVR-V2A +2VA-RB2.

Einen so behandelten Ausdruck nennen wir einen reduzierten; ein reduzierter Ausdruckter Stufe hat genau 2 verschiedene Werte; denn ist:

A+ BVR

dieser Ausdruck, also A, B und R von der (r-1)ten Stufe und VR die zuletzt auszuziehende Quadratwurzel, und angenommen, es wären 2 der 2 Werte, die den 2r Vorzeichenkombinationen der Wurzeln entsprechen, einander gleich; also z. B.:

A+ BVR = A + B'ε VR',

wo A', B', R' konjugierte Werte der Größen A, B, R sind und & ein gewisses Vorzeichen bedeutet, so würde folgen:

folglich, weil VR sich nach Voraussetzung nicht rational durch die vorhergehenden Wurzeln ausdrücken läßt:

was unmöglich ist, wenn der zu beweisende Satz für die Ausdrücke (r-1)ter Stufe vorausgesetzt wird; für die erste Stufe ist er evident. Diese 2 Ausdrücke sind die 2 Wurzeln einer rationalen Gleichung 2rten Grades, die wie oben zu bilden ist.