so überzeugt man sich durch einfache Ausrechnung, daß der Fall der Harmonie durch das Verschwinden der „,kubischen Invariante":

1

27

c, d, e

((X3 — X1) (X4— X2) + (X1— X1) (X3 — X2)) ((X2 — X1) (X1— X3)

+(X ̧—X1) (X2 — X3)) ((X2— X1) (X3—X4) + (X3 — X1) (X2 — X1)),

der Fall der Äquianharmonie durch das Verschwinden der „quadratischen Invariante":

{ (X3 — X1) (X ̧ — X2) (X4— X3) (X2— X1) + (X2— X3)2 (X ̧— X1)2},

der Fall der Singularität durch das Verschwinden der „Diskriminante":

1

64

--

((X1 — X3) (X1 — X3) (X1 — X4) (X2 — X3) (X2 — X4) (X3 — X4))2

charakterisiert wird, oder auch, daß diese drei Fälle bzw. den Werten:

Das gemeinsame harmonische Paar x, y zu 2 gegebenen a, a' und b, b' wird wie folgt gefunden1): aus

1) Hierauf beruht Legendres Transformation der elliptischen Integrale. (Transc. ell. 1793, n° 5). Der Integrand

woraus hervorgeht, daß bei reellen a, a, b, b' auch x und y reell sind, wenn und nur wenn dieser letztere Ausdruck größer als O ist, also wenn und nur wenn a und a' beide zwischen oder beide nicht zwischen und b' liegen, ferner auch wenn von den beiden Paaren a, a' und b, b' das eine aus zwei konjugiert imaginären Zahlen, das andere ebenfalls aus zwei konjugiert imaginären oder aus zwei reellen Zahlen besteht.

Das Doppelverhältnis der vier Geraden A, B, C, D des Punktes Sist1): sin (AC) sin (AD) sin (BC) sin (BD)*

(ABCD)

=

Dabei ist unter (AC), usw. der Winkel der Geraden und mit einem bestimmten Vorzeichen, entsprechend einem willkürlich festgesetzten Drehungssinn um den Punkt S zu verstehen, so daß also z. B.: (AB) = - (BA),

(AB) + (BC) = (AC),

(AB) + (BC) + (CA) = 0

ist, wobei von Vielfachen von 4 Rechten abgesehen wird. Der so definierte Winkel (AB) ist noch zweideutig, da es zwei Winkel gibt, um die A in gegebenem Drehungssinn gedreht mit B zur Deckung kommt. Er wird eindeutig bestimmt, wenn man noch auf jeder der beiden Geraden einen Fortgangssinn festsetzt und verlangt, daß die Drehung die beiden Geraden auch ihrem Sinne nach zur Deckung bringt. Für das Doppelverhältnis ist diese Unterscheidung unnötig, sin AC da z. B. der Quotient bei Änderung des Sinnes auf C unversin BC ändert bleibt. Werden die vier Geraden A, B, C, D von einer beliebigen fünften, nicht durch den Punkt S gehenden Geraden & in den vier Punkten A, B, C, D geschnitten, so ist 2):

1) Carnot, Transvers. 1806, p. 7. Poncelet, Traité, p. 9. Steiner, Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander (Berlin 1832), p. 7 Werke I (Berlin 1881), p. 244.

2) Siehe Pappus l. c., p. 871, 891.

Dabei verstehen wir unter S(ABCD) allgemein das Doppelverhältnis der vier von S nach A, B, C, D gezogenen Geraden; ebenso bedeute G(ABCD) das Doppelverhältnis der vier Schnittpunkte von mit den vier Geraden A, B, C, D.

Demnach werden vier Strahlen eines Punktes von jeder Geraden in vier Punkten desselben Doppelverhältnisses geschnitten und vier Punkte einer Geraden von jedem Punkte aus durch vier Strahlen desselben Doppelverhältnisses „,projiziert", d. h. Doppelverhältnisse werden durch Projizieren und Schneiden nicht verändert. 1)

A

Zufolge dieser Eigenschaft wird (s. Fig.)

A

C'

T

(ABCD) = (A'B'C'D) = (BACD) =

S

B'

C B

also

(ABCD)'

weil (s. S. 3) der Wert + 1 nur beim Zusammenfallen zweier Punkte eintreten könnte.2)

Infolgedessen liegen die vier Punkte A, B, C, D harmonisch, und man erhält z. B. den vierten Punkt D zu den drei

gegebenen Punkten A, B, C nach Wahl eines Punktes S nicht auf [ABC] und eines Punktes T auf [SC], aus

D= ([AB][([AS][BT]) ([AT][BS])]).3)

Sechs Punkte A, B, C, A', B′, C′ mit den Abszissen a, b, c, a',

b', c′ liegen „involutorisch“ oder bilden eine „Involution“ (ABC), (ABCC') = (A'B'C'C)

ist.) Die Bedingung läßt sich leicht in die Formen setzen: (a−b') (b-c') (c— a') + (a'—b) (b'— c) (c'— a) = 0

oder

wenn

ABC

Aus der letzteren geht hervor, daß in einer Involution (C) die

1) Pappus l. c., p. 871. Carnot 1. c.

2) Pappus 1. c., p. 875.

3) Diese wichtige Konstruktion stammt nach Steiner (Werke I, p. 290) von Ph. de la Hire (Sectiones conicae, Paris 1685).

4) G. Desargues, Brouillon proiect (Paris 1639), Oeuvres (Paris 1864) I, p. 119. Der Sache nach schon Pappus bekannt; 1. c. p. 873. Desargues betrachtet zuerst Strahlbüschel und entsprechende Scharen von Kurven wie später allgemein Lamé (1818).

drei Paare (4), (B), (C) permutiert und die Elemente jedes Paares

unter sich vertauscht werden dürfen. Auch folgt hieraus, daß die drei Paare ein gemeinsames harmonisches haben.1) Das Verschwinden dieser Determinante ist nämlich die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die drei Gleichungen der Harmonie (s. (4))

eine gemeinsame Lösung für xy und x + y haben.

Die Harmonie (ABCD)

==

1 ist mit der speziellen Involution

(ABD) identisch; denn man erhält für letztere (ABCD) = (ABDC),

also 1. Ebenso entspricht dem Harmoniesatz am Viereck (s. S. 6) ein allgemeinerer Satz für die Involution, nämlich: Die sechs Schnittpunkte ABCA'B'C' einer Geraden & mit den sechs Seiten ABCA'B'C' eines Vierecks PQRS sind in Involution.

In der Tat ist

(ABCA)=(ARQT) = (AC'B'A')=(AB'C'A).

Dadurch läßt sich zu fünf Punkten der sechste involutorische mit dem Lineal allein finden, oder also, was dasselbe ist, der vierte harmonische C' zu drei Punkten XYC, von denen das Paar XY nicht explizite, sondern implizite, nämlich als gemeinsames harmonisches von zwei Paaren AA', BB' gegeben ist. Dasselbe ist durch bloße Harmonien zu bewerkstelligen (s. Aufg. 20 S. 21).

T

R

૧

B

B

જ

C

B

B

Acht Punkte ABCDA'B'C'D' einer Geraden mit den Abszissen

abcda'b'c'd' liegen projektivisch oder bilden eine Projektivität (ABCD),

wenn

A'B'C'D'

(ABCD) = (A'B'C'D')

1) Siehe z. B. O. Hesse, Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der Geraden usw. (Leipzig 1865), p. 76.

АВС

ist. Die Involution (ABC) ist mit der Projektivität (ABCC) iden

A'B'C'

tisch. Man kann zu sieben gegebenen Punkten den achten projektivischen durch bloße Harmonien finden (s. Aufg. 21 S. 21). 1) Das ist von theoretischem Interesse; eine einfachere Auflösung dieser Aufgabe folgt weiter unten.

Diese Definitionen und Sätze sind ohne weiteres auf die Strahlen eines Punktes zu übertragen.

Allgemeiner nennt man die Gesamtheit der Punktpaare XX',

BC A'C' AX B'X'- AC. B'C'. BX A'X' = 0,

d. h. für die Abszissen x, x' zweier entsprechender Punkte eine bilineare Relation:

Genügen ihr a, a, b, b, c, c', x, x', so erhält man durch Elimination von λ, u, u die Gleichung der Projektivität:

die sich für ca', c'a leicht in die Gleichung der Involution überführen läßt:

Diese bilineare Gleichung zwischen x und x' ist symmetrisch (μ=μ'). Also gibt es in einer Involution oder Projektivität ein Paar sich selbst entsprechender Punkte X = X' und Y= Y'. In einer Involution

=

1) Siehe Wiener, Leipz. Akad. Ber. math. phys. Kl., Bd. 43 (1891), p 670. 2) Steiner, Systematische Entwicklung I, Art. 10 Werke, Bd. I, p. 261. Kollineation bei Möbius a. a. O., Kap. 7, Homographie bei Chasles, Géométrie supérieure (Paris 1852), Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie (Paris 1837, 2. Aufl. 1875), deutsch (Geschichte der Geometrie) von Sohnke (Halle 1839).