AVEC LA COLLABORATION DE PLUSIEURS PROFESSEURS BELGES ET ÉTRANGERS.

AD. HOSTE, ÉDITEUR GAUTHIER-VILLARS & FILS

GAND, IMPRIMERIE C. ANNOOT-BRAECKMAN, AD. HOSTE, SUCCESSEUR

ABRÉVIATIONS.

B. B. Bulletins de l'Académie royale de Belgique.

C. R. Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris.
N. A. M. Nouvelles Annales de Mathématiques (depuis 1842).
N. C. M. Nouvelle Correspondance Mathématique (1874-1880).

J. M. E. (ou J. M. S). Journal de Mathématiques élémentaires (ou Journal de
Mathématiques spéciales), fondé en 1877 par BOURGET, continué par
G. DE LONGCHAMPS.

Crelle.

Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par CRELLE en
1826, continué d'abord par BORCHARDT, puis par KRONECKER et
WEIERSTRASS, enfin par KRONECKER (en allemand surtout).
Liouville, Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par LIOUVILLE
en 1836, continué d'abord par RESAL, puis par JORDAN.

(2) III, 327-333 signifie Deuxième série, tome troisième, pages 327
à 333.

REMARQUES SUR UN CONTINUANT;

par M. E. CESARO, professeur à l'Université de Naples.

considéré (*) par M. Novarese, est un continuant, dans l'acception la plus large du mot. Il est le discriminant de la forme quadratique

-

...

a。x; +a,(x2+x;—-2ì ̧x ̧x ̧)+α ̧(x2+x−−2ˆ‚¤‚¤z)+ ··· +Anï3⁄41⁄2· Lorsque ne surpasse pas l'unité, on a

x¡ + x}+1− 2ì ̧¡¤¡X; +1 ≥ (X; ± X;+1)a.

Si l'on suppose, en outre, que les coefficients a soit positifs, on voit que la forme considérée est essentiellement positive, et, par suite, son discriminant D, doit être positif. La propriété signalée par M. Novarese est donc démontrée.

Le calcul de D, n'offre pas de difficultés. On voit immédiatement, en développant Dn+ suivant les éléments de la dernière ligne, que

On trouve ainsi, de proche en proche, en partant de Qo en partant de QoQ, = 1,

Q2

2

Q2 = 1-91, Qs=1-91— qr, Q1 = 1-91-92-93 +9193, Qs = 1-91-92-93-91 +9193 +9194 +929, etc.

En général, on obtient Q. en développant le produit

(1 — g1) (1 — 92) (1 — 93) ••• (1 — In−1),

...

et en y supprimant les termes qui contiennent deux facteurs consécutifs de la succession 91, 92, 93, ... Si nous avions développé D+i suivant les éléments de la première ligne, nous aurions trouvé, au lieu de (1),

où Q représente ce que devient Q lorsqu'on augmente de i tous les indices. On peut écrire

Les formules (1) et (2) sont d'ailleurs comprises dans la suivante :

Qn+v=QnQ(n) — InQn_1 Q(n+1).

(3)

On obtient (1) et (2) en faisant v1, n = 1, respectivement. Pour démontrer la formule (3), il suffit de changer n en n + 1. Le second membre devient, en tenant compte de la relation (1),

(Qn—InQn_1)Q(n+1)—In+lQnQ!”+2)—Q„(Q!”+1)—In+1Q(n+2)) — InQn_1Q(n+1);

puis, d'après (2), où l'on a augmenté de n les indices des nombres 9,

ce qui est précisément la formule (3), après changement de ven +1. On parvient plus directement au même résultat en développant Qn suivant les lignes qui se croisent en un élément quelconque de la diagonale principale.

On peut encore obtenir le développement de Q par une théorie