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dessen Umkehrung zwölfdeutig ist, bildet die Ebene (, ) in den kleinsten Theilen ähnlich auf ein Netz ab, welches entsteht, wenn die Oberfläche eines Würfels auf die Ebene (p,q) unendlich oft ausgebreitet wird und welches alsdann diese Ebene zwölffach bedeckt. Durch die Substitution

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so dass diese Abbildung nur von elliptischen Functionen abhängig ist, und zwar von den lemniscatischen mit dem Modul V.

Die conforme Abbildung auf die Kugel ist hierbei eine derartige, dass alle Kanten des Würfels, die Diagonalen und Mittellinien seiner Seitenflächen sich auf Theile grösster Kreise abbilden und dass jedem Punkte der Würfeloberfläche, welche man aus der Ebene (p, q) durch Zusammenfalten herstellt, nur ein Punkt der Kugel entspricht und umgekehrt.

Jeder in den kleinsten Theilen ähnlichen Abbildung der Oberfläche einer Kugel auf eine Ebene, bewirkt durch eine Gleichung von der Form

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entspricht, wie Herr J. Weingarten im Crelle - Borchardt'schen Journal Bd. 62, S. 160 gezeigt hat, eine bestimmte Minimalfläche durch

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√1 − 14(§ + ni)*+ (§ + ni )* =r(cos + i sin ø),

wo also r, cos y, sin q algebraische Functionen von und findet man für den Hauptkrümmungsradius

sind, so

der Minimalfläche und

für die Differentiale der Coordinaten eines Punktes derselben die

Gleichungen

(§2 + n2+1)2
4.2

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[(1— §2+n2) (cos 2p d§ + sin 2p dn) — 2§ ŋ (sin 24 d§ — cos 2p dn)],

[(1+ §3—n2 ) (sin 2 d§— cos 2p dn) — 23 n (cos 2 d§ + sin 29 dn)],

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28 (cos 2op de + sin 29 dŋ) +2ŋ (sin 2q d§ — cos 2p dn)].

Das Modell I (siehe die Zeichnung auf Taf. 1.) stellt dar einen einfach zusammenhängenden Theil M der Minimalfläche, welcher einer Seitenfläche des Würfels entspricht. Das Gestell, die Umgrenzung, ist aus schwachem Draht gefertigt, der in die Form der Seiten eines räumlichen Vierseits A B C D gebogen ist und vier Kanten eines regelmässigen Tetraeders darstellt. Diese vier Geraden auf der Fläche entsprechen den Seiten des Quadrats. Das Flächenstück selbst ist dargestellt durch eine dünne Haut von Gelatine, welche vor den zu ähnlichen Zwecken angewendeten Lamellen von Glycerinseifenwasser den Vorzug der Beständigkeit in trockenem Zustande hat.

Die Fläche geht durch den Mittelpunkt des Tetraeders hindurch, in welchem sich die Mittellinien desselben, die geraden Verbindungslinien der Mitten seiner Gegenkanten schneiden. Von diesen steht die eine JK normal auf der Fläche, während die beiden anderen, EF und GH, wie aus der Discussion der angegebenen Gleichungen hervorgeht und wie das Modell zeigt, ganz auf der Fläche liegen; sie entsprechen den Mittellinien des Quadrats.

Ein besonderes Interesse erhält die Fläche durch ihre Fortsetzung, weil sie die Eigenschaft hat, aus lauter congruenten Theilen zu bestehen, von denen einen Modell I darstellt.

Indem man zwei Exemplare des Modells I in geeigneter Weise längs einer Kante zusammenhält, kann man sich überzeugen, dass dieselben längs dieser Kante in allen Punkten gemeinschaftliche Tangentialebenen haben.

Sechs solche in einer Ecke zusammenstossende Theile, welchen

drei, in derselben Ecke des Würfels zusammenstossende Quadrate entsprechen, stellt das Modell II dar. (Siehe die Zeichnung auf Taf. 2.) Errichtet man auf den sechs gleichseitigen Dreiecken, in welche ein regelmässiges Sechseck (2, 4, 6, 8, 10, 12) durch seine drei Hauptdiagonalen (2-8, 4-10, 6-12) getheilt wird, abwechselnd nach der einen und nach der andern Seite regelmässige Tetraeder, so bilden die von den Ecken des Sechseckes ausgehenden Tetraederkanten, welche nicht Seiten desselben sind, das Gestell für das Modell II.

Zwei Exemplare des Modells II, in entsprechender Weise aneinander gehalten, zeigen den weiteren Verlauf der Fläche.

Das Modell III (siehe die Zeichnung auf Taf. 3.) veranschaulicht, wie sich die Fläche von den Ecken des Modells II aus fortsetzt, die nicht Ecken jenes Sechseckes sind, und zeigt, wie dieselbe theilweise in sich zurückkehrt.

Zwei gegenüberliegende Seitenflächen eines regelmässigen Oktaeders fasse man als Grundflächen desselben auf und denke sich auf die anderen Seitenflächen desselben regelmässige Tetraeder von gleich langer Kante aufgesetzt. Die sechs nicht in den Grundflächen des Oktaeders liegenden Kanten desselben und deren Gegenkanten in den einzelnen Tetraedern liegen auf der Fläche und bilden das Gestell für das Modell III. Das durch zwei gleichseitige in den Grundflächen des Oktaeders liegende Dreiecke begrenzte, zweifach zusammenhängende Flächenstück, welches durch dieses Modell dargestellt wird, enthält ausser den genannten Geraden noch sechs Gerade, Mittellinien jener Tetraeder, und liegt ausserhalb des Oktaeders, in dessen inneren Raum die Fläche auch in ihrer Fortsetzung nicht eintritt. Denkt man sich auf die beiden Grundflächen des Oktaeders regelmässige Tetraeder von gleich langer Kante aufgesetzt, so tritt auch in diese die Fläche nicht ein.. Von den Kanten dieser Tetraeder liegt keine auf der Fläche. In Bezug auf die vier Seitenflächen derselben ist die Fläche sich selbst congruent; man kann auf dieselben wieder Oktaeder aufsetzen, in welche die Fläche nicht eintritt und erhält durch Fortsetzung dieser Construction einen kanalförmig abgegrenzten Raum, der sich von jedem der zuletzt erwähnten Tetraeder aus, sowie den denselben entsprechenden Tetraedern, nach vier Richtungen spaltet, im Endlichen zum Theil in sich zurückkehrt und sich nach jeder Richtung hin ins Unendliche erstreckt. Dieser Raum liegt auf einer Seite der Fläche; auf der anderen Seite liegt ein ihm congruenter; die Fläche tritt nur in die vom ganzen Raume noch übrig bleibenden

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