1 2α Setzt man nun λ = und w = 4, so ist d'S positiv, gleich Null, oder negativ, jenachdem U(, 2a) negativ, gleich Null, oder positiv ist. Umgekehrt: das betrachtete Stück der Schraubenfläche besitzt ein Minimum von Flächeninhalt, wenn U(2,2a) negativ ist. In dem Grenzfalle U(2, 2) = 0 ist, da für die Annahme w = auch d3S gleich Null wird, die Untersuchung der vierten Variation erforderlich, um zu entscheiden, ob ein Minimum eintritt oder nicht. Wenn a gleich oder grösser als ist, so ist die Function U(2a) für jeden reellen Werth von ẞ positiv; mit anderen Worten: ist die Höhe H des betrachteten Flächenstückes gleich der Höhe eines halben Schraubenganges oder grösser, so besitzt dasselbe unter den angegebenen Grenzbedingungen nicht ein Minimum von Flächeninhalt. Hieraus folgt, dass die in dem Monatsbericht vom Januar d. J. auf S. 9 angegebenen Schraubenflächen *), sobald der ganzen Zahl n ein von 0 und -1 verschiedener Werth beigelegt wird, unter den daselbst angegebenen Grenzbedingungen ein Minimum von Flächeninhalt nicht besitzen. 1 θα Ist hingegen a kleiner als, mithin λ = grösser als 1, d. h. enthält das betrachtete Flächenstück weniger als einen halben Schraubengang, so nimmt die Function U(BA, 1) für wachsende positive Werthe von ẞ beständig ab und wird, sobald ß einen gewissen Werth ẞ' überschritten hat, negativ. Wenn daher R grösser ist als ein durch die Gleichungen von a abhängender Grenzwerth R, welcher nebst dem Verhältnisse H: 2R für einige Werthe von a aus der Tabelle: *) Siehe S. 132 dieses Bandes. entnommen werden kann, so besitzt das betrachtete Flächenstück ein Minimum von Flächeninhalt. = Aus der vorstehenden Tabelle ergibt sich, dass die auf S. 9 des Monatsberichts vom Januar d. J. *) angegebenen Schraubenflächen, für welche, wenn 2n+1 +1 gesetzt wird, die hier mit a bezeichnete Grösse den Werth hat, unter den daselbst angegebenen Grenzbedingungen ein Minimum des Flächeninhalts besitzen, wenn R grösser als√2 ist, dass dieses aber nicht der Fall ist, wenn R kleiner als √2 ist. Wenn man an die Stelle von x, y, z, R beziehlich 'x', λ−1y', '', 'R' setzt und hierauf zur Grenze = ∞ übergeht, so tritt an die Stelle des betrachteten Stückes der Schraubenfläche die Fläche eines ebenen Rechteckes = Die beiden Seiten x'= 0, ' dieses Rechteckes werden als fest betrachtet, die beiden andern Theile der Begrenzungslinie dürfen auf der Cylinderfläche x2+y' R' variiren. = Ist R' grösser als die positive Wurzel der Gleichung also grösser als b = 1,1996786, so besitzt jenes ebene Flächenstück ein Minimum von Flächeninhalt, ist. dagegen R' kleiner als diese Wurzel, so gibt es benachbarte, denselben Grenzbedingungen genügende *) Siehe S. 132 dieses Bandes. Flächenstücke, welche einen noch kleineren. Flächeninhalt als jenes Rechteck haben. Dieses Resultat kann man auch auf anderem Wege direct herleiten, indem man an die Stelle der Ebene x' 0 eine die beiden Geraden x'= 0, ' enthaltende Fläche x'= w(y', ') z' = setzt, eine Formel für den Flächeninhalt des von den beiden Geraden und von der Cylinderfläche x+y=R" begrenzten Stückes dieser Fläche aufstellt und diesen Ausdruck nach Potenzen von & entwickelt. An die Stelle der Function in den bisherigen Entwickelungen tritt die Function Ꮪ Y' R (e¥'+z' ï +e ̄(y′+x'i)) Ꮪ = Setzt man R' = b und w, so ergeben sich die Gleichungen 8'S = 0, 8'S = 0, während 8'S einen negativen Werth erhält. In diesem Falle tritt also auch an der Grenze ein Minimum des Flächeninhalts nicht ein. Die gewonnenen Untersuchungsergebnisse sind einer interessanten Veranschaulichung fähig. Wenn man auf experimentellem Wege mittelst der Plateauschen Glycerinseifenflüssigkeit und geeigneter Vorrichtungen eine Seifenwasserlamelle herstellt, welche einem den in Betracht gezogenen Grenzbedingungen genügenden Stücke einer Minimalfläche entspricht, so wird diese Lamelle sich nur dann im Zustande der Stabilität befinden, wenn das betrachtete Flächenstück im mathematischen Sinne unter Voraussetzung jener Grenzbedingungen wirklich ein Minimum von Flächeninhalt besitzt. Wenn es daher irgendwie gelungen ist, durch eine Seifenwasserlamelle für einen Moment ein Minimalflächenstück zu realisiren, welchem ein Minimum des Flächeninhalts nicht zukommt, so wird sich dieser Umstand dadurch zu erkennen geben, dass jene Lamelle in der Lage, in welcher sie sich in jenem Momente befindet, nicht zur Ruhe gelangt, sondern sich von derselben allmählig immer mehr entfernt, bis sie eine von der ursprünglichen Gestalt vielleicht sehr verschiedene stabile Gleichgewichtsgestalt erlangt hat. Ist hierbei die Vorrichtung, welche die Seifenwasserlamelle den Grenzbedingungen anpasst, so beschaffen, dass ein Theil derselben beweglich ist, entsprechend einem in den Grenzbedingungen enthaltenen Parameter, so lässt sich die Grenze, bei welcher die Stabilität aufhört, auf experimentellem Wege ermitteln. Für den Fall einer Zone der durch Rotation einer Kettenlinie um ihre Directrix entste henden Fläche hat bekanntlich Hr. Plateau eine solche Untersuchung wirklich ausgeführt. (Sur les figures d'équilibre d'une masse liquide sans pesanteur. Vme Série. § 2, 3, 11, 15. VIIme Série. § 21, 22. Xme Série. § 29. Wegen allgemeiner hierher gehörender Bemerkungen vgl. XIme Série § 33, 34. Mémoires de l'Académie royale de Belgique. T. XXXIII-XXXVII. 1860-68.) Durch Vergleichung mit dem theoretischen Ergebnisse erhält man ein Urtheil über das Mass der grösseren oder geringeren Genauigkeit, mit der es gelungen ist, den mathematischen Bedingungen durch das Experiment zu entsprechen. Bei den Experimenten, welche ich angestellt habe, entspricht der Cylinderfläche x2+ y2 = R2 ein Glascylinder, die beiden geraden Strecken der Begrenzung werden durch zwei Drähte von der Länge des inneren Cylinderdurchmessers vertreten, welche durch passende Führungen in einer zur Cylinderfläche senkrechten Lage erhalten werden. Wird der Apparat in die Flüssigkeit getaucht und wieder herausgezogen, so zeigen sich bei Anwendung geeigneter Vorsichtsmassregeln die beiden Drähte durch eine die innere Cylinderwandung rechtwinklig treffende Lamelle mit einander verbunden, welche die Gestalt der Fläche eines ebenen Rechteckes oder eines Theiles einer Schraubenfläche besitzt, jenachdem die beiden Drähte parallel eingestellt sind oder nicht. Durch Aenderung des Abstandes der beiden Drähte und des Winkels, den dieselben mit einander bilden, können dem Verhältnisse H:2R und der Grösse a verschiedene Werthe beigelegt werden. Wenn die Stabilitätsgrenze überschritten wird, SO degenerirt die erwähnte Lamelle in zwei ebene halbkreisförmige Lamellen, welche je einen der beiden Drähte mit der inneren Cylinderwandung verbinden. Sowohl wenn a gleich 0, als auch wenn a gleich gesetzt wurde, ergab sich zwischen den auf experimentellem Wege bestimmten Stabilitätsgrenzen für das Verhältniss H:2R und den theoretischen Werthen der obigen Tabelle eine befriedigende Uebereinstimmung; genauere Messungen anzustellen muss ich Physikern überlassen. Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflächen. Zuerst im XIX. Jahrgange der Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, S. 243-271, veröffentlicht. Ein zweiter, einige Aenderungen enthaltender Abdruck erschien im 80. Bande des Journals für reine und angewandte Mathematik, S. 280-300. Die Variationsrechnung zeigt, dass dasjenige Flächenstück, welches unter allen von derselben Randlinie begrenzten Flächenstücken möglichst kleinen Flächeninhalt hat, in jedem seiner Punkte gleich grosse und entgegengesetzt gerichtete Hauptkrümmungsradien besitzen muss. Da nun auch umgekehrt allen Flächen, deren mittlere Krümmung in jedem ihrer Punkte gleich Null ist, die Eigenschaft zukommt, dass sich Stücke derselben abgrenzen lassen, welche unter allen je von denselben Randlinien begrenzten Flächenstücken den kleinsten Flächeninhalt besitzen, so werden die in Rede stehenden Flächen überhaupt Flächen kleinsten Flächeninhalts oder kurz Minimalflächen genannt. Die Titel einer grossen Anzahl von Abhandlungen, welche sich auf diese Flächen beziehen, findet man, zumeist mit einer mehr oder weniger ausführlichen Inhaltsangabe in den Einleitungen der beiden Schriften: " Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung." Eine Abhandlung von Bernhard Riemann. Bearbeitet von K. Hattendorff. 13. Bd. der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1867. „Sulle proprietà generali delle superficie d'area minima.“ Mem. del prof. E. Beltrami. Memorie dell' Accademia delle Scienze dell' Istituto di Bologna. Serie 2. Tomo VII. 1868. und in den beiden Werken: Todhunter, History of the Progress of the Calculus of Variations, Cambridge and London, 1861. |