rere Flächenstücke gibt, welche von der Linie L begrenzt sind, in ihrem Innern keine singulären Stellen enthalten und je unter allen ihnen unendlich benachbarten Flächenstücken den kleinsten Flächeninhalt besitzen. Eine interessante mit dieser Frage zusammenhängende Untersuchung hat Steiner angestellt. (Journal für Mathematik Bd. 24, S. 239 Anm., 1842.) *) Diese Untersuchung bezieht sich auf zwei von derselben Randlinie begrenzte Flächenstücke, für welche bei passender Wahl des Coordinatensystems gleichzeitig die eine Coordinate eine eindeutige Function der beiden andern ist. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich, dass jedenfalls einem der beiden Flächenstücke die Eigenschaft des Minimums nicht zukommt. SO Die im Vorhergehenden erwähnten auf die zweite Variation bezüglichen Lehrsätze gelten unter der Voraussetzung, dass bei der Variation des betrachteten Flächenstückes die Begrenzung desselben als fest betrachtet wird. Lässt man diese Voraussetzung fallen, eröffnet sich der Forschung ein bisher noch wenig betretenes Gebiet, dessen Schwelle folgender, ebenfalls von Steiner (Monatsberichte der Berliner Akademie, Jahrgang 1840, S. 118) **) herrührender Satz bezeichnet: Unter allen zu einem Minimalflächenstücke äquidistanten Flächenstücken besitzt das Minimalflächenstück selbst nicht den kleinsten, sondern den grössten Flächeninhalt. Unterstrass bei Zürich, im December 1874. *) Jacob Steiner, Gesammelte Werke, Band II, S. 298. **) Jacob Steiner, Gesammelte Werke, Band II, S. 176. Ueber diejenigen Minimalflächen, welche von einer Schaar von Kegeln zweiten Grades eingehüllt werden. Journal für reine und angewandte Mathematik, Band 80, S 301-314. Die Minimalflächen, welche eine Schaar reeller Kreise enthalten, haben die Eigenschaft (vergl. Art. VIII der Miscellen)*), längs dieser Kreise von einer Schaar concyclischer Kegel zweiten Grades berührt zu werden. Jede solche Fläche wird nämlich längs jedes auf ihr liegenden Kreises von einem Kegel oder Cylinder zweiten Grades berührt und alle dieselbe Fläche einhüllenden Kegel zweiten Grades werden von denselben beiden Schaaren paralleler Ebenen in Kreisen geschnitten. Eine analoge Eigenschaft besitzen die Minimalflächen, welche eine Ellipse oder eine Hyperbel als kürzeste Linie enthalten; denn auf diesen Flächen liegt ebenfalls eine einfach unendliche Schaar von algebraischen Curven, nämlich von Raumcurven vierten Grades, und längs jeder von diesen Curven werden die erwähnten Flächen von einem Kegel zweiten Grades berührt. Diese Kegel sind, wie in dem vorher angeführten Falle, concyclisch. Die vorliegende Abhandlung beschäftigt sich in ihrem ersten Theile mit der Aufgabe: Alle Minimalflächen zu bestimmen, welche von einer Schaar concyclischer Kegel zweiten Grades umhüllt werden. Dass mit der Lösung dieser Aufgabe zugleich alle Minimalflächen gefunden sind, welche die Eigenschaft haben, überhaupt von einer Schaar von Kegeln zweiten Grades umhüllt zu werden, wird in dem zweiten Theile bewiesen. *) Siehe S. 186 dieses Bandes. I. Zwei Flächen zweiten Grades sollen concyclisch genannt werden, wenn sie die Eigenschaft haben, von denselben beiden Schaaren von parallelen Ebenen in Kreisen geschnitten zu werden. Sind zwei Flächen zweiten Grades 9 und concyclisch, so haben alle mit ihnen zu demselben Büschel gehörenden, d. h. die Schnittlinie derselben enthaltenden Flächen zweiten Grades die Eigenschaft, von denselben Ebenen, welche die Flächen und in Kreisen schneiden, ebenfalls in Kreisen geschnitten zu werden. Ein solches Büschel concyclischer Flächen zweiten Grades ist, allgemein zu reden, durch die Eigenschaft charakterisirt, dass dasselbe stets eine Kugelfläche enthält, welche nur dann durch eine Ebene vertreten wird, wenn alle Flächen des Büschels mit der unendlich fernen Ebene des Raumes dieselbe Linie gemein haben. Ist insbesondere die Fläche eine Kegelfläche und die Fläche eine derselben unendlich benachbarte concyclische Kegelfläche, so enthält die durch die Schnittlinie beider Flächen hindurchgehende Kugelfläche den Mittelpunkt des Kegels p. Bei einer einfach unendlichen Schaar concyclischer Kegel zweiten Grades kann daher jedem Kegel der Schaar eine Kugelfläche zugeordnet werden, welche den Mittelpunkt dieses Kegels enthält und zugleich durch die Schnittlinie desselben mit dem unendlich benachbarten Kegel der Schaar hindurchgeht. Man erhält also folgenden Satz: Wenn eine Minimalfläche die Eigenschaft hat, von einer einfach unendlichen Schaar concyclischer Kegel zweiten Grades umhüllt zu werden, so berührt jeder von diesen Kegeln die Minimalfläche längs der Schnittlinie mit einer durch seinen Mittelpunkt hindurchgehenden Kugelfläche. Wenn aber von einer Minimalfläche eine auf derselben liegende Linie und in jedem Punkte eines Stückes dieser Linie die Normale der Minimalfläche gegeben ist, so ist hierdurch, wie aus dem Inhalt des Art. V der erwähnten Miscellen hervorgeht, die Minimalfläche selbst in ihrer ganzen Ausdehnung unzweideutig bestimmt. Mit Hülfe der a. a. O. hergeleiteten Gleichungen kann man allgemein diejenige Minimalfläche bestimmen, welche von einem Kegel zweiten Grades längs der Schnittlinie desselben mit irgend einer durch seinen Mittelpunkt hindurchgehenden Kugelfläche berührt wird. Zu diesem Zwecke mögen als unabhängige Variable zwei ver änderliche Grössen u und v eingeführt werden, welche mit den elliptischen Kugelcoordinaten auf gleiche Linie zu stellen sind. Wo in dem Folgenden die Angabe des Moduls nicht ausdrücklich in die Bezeichnung aufgenommen ist, soll k sine, k' = cos & gesetzt werden, während K, K' die bekannte Bedeutung haben. = eine Function des complexen Argumentes u+vi = w, Diese Gleichungen stellen, wenn das eine Mal u, das andere Mal v als variabler Parameter angesehen wird, zwei Schaaren confocaler sphärischer Kegelschnitte dar, deren Brennpunkte durch die Gleichungen Z= cos & X = + sin ε, = 0, bestimmt sind. Um alle Punkte der Kugeloberfläche und, allgemein zu reden, jeden nur einmal zu erhalten, hat man der Variablen u alle Werthe von 2K (excl.) bis +2K (incl.) und der Variablen v alle Werthe von K' bis +K' (beide Werthe incl.) beizulegen. Man gebe nun der Variablen v einen constanten Werth und denke sich von einem Punkte des Raumes, dessen Coordinaten x, y, sind, auf alle Tangentialebenen des Kegels Perpendikel gefällt. Wenn x', y', z' die Coordinaten eines beliebigen Punktes eines solchen Perpendikels bezeichnen, so bestehen die Gleichungen in welchen eine veränderliche Grösse bezeichnet. Der geometrische Ort dieser Perpendikel ist die Kegelfläche (μ +1) · (x' — x ̧)2 + (μ + k'2) · (y' — y。)2 + μ · (z' — 2。)2 = 0, in der Weise durch Reciprocität entspricht, dass zu jeder Tangentialebene jedes der beiden Kegel eine auf dieser Tangentialebene perpendiculare Seite des andern Kegels gehört. Betrachtet man die Grösse v als variablen Parameter und xo, Yo, zo als Functionen desselben, so stellt die Gleichung (μ +1) · (x' − x)2 + (μ + k'2) · (y' — y。)2 + μ · (2' — 2)2 = 0 eine Schaar concyclischer Kegel zweiten Grades dar, welche von den beiden Schaaren von Ebenen Der Grösse v denke man sich jetzt wieder einen constanten Werth beigelegt und bestimme die Durchschnittslinie des Kegels = 0 (μ +1) · (x' — x ̧)2 + (μ+k'2) · (y'—y。)2 + μ · (2′' — 2)2 mit einer durch den Mittelpunkt desselben hindurchgehenden Kugelfläche. Die allgemeine Gleichung einer solchen Kugelfläche hat die Gestalt (x' —x ̧)2+(y'—y。)2 + (z′—z。)2 = a'(x' — x ̧) + ẞ′(y' —y.) + y′(z' —z。), wo a', B', y' drei constante, d. h. von der Variablen u nicht abhängende Grössen bezeichnen. Führt man in diese Gleichung die oben für x-x, y'-yo, 2'-20 gefundenen Ausdrücke ein, so erhält man, wenn man den Ausdruck 1-k' sn2u sn3 vi zur Abkürzung mit N bezeichnet, |