Se nota que todos los achatamientos calculados son mayores que los obser vados. Para establecer la concordancia entre la observación y el cálculo, se han hecho varias hipótesis sobre la ley de repartición de las densidades en el interior de la masa líquida y se ha llegado efectivamente á obtener resultados más o menos conformes con la observación. Sea lo que fuera, esta ligera exposición muestra que la solución completa del problema deja todavía mucho que desear. Las experiencias de Plateau relativas á la forma que toma una masa líquida animada de un movimiento de rotación, me ha sugerido un método distinto para abordar este problema. Se sabe que los fenómenos de la capilaridad permiten asimilar la superficie exterior de un líquido en reposo á una membrana sometida á una tensión determinada; en consecuencia se puede buscar la forma exterior de una masa líquida, en el caso de las experiencias de Plateau, suponiendo que los puntos de la membrana hipotética que limita el líquido están sometidos, por parte del líquido mismo, á una presión normal constante y á la fuerza de inercia del movimiento de rotación. Un método análogo puede aplicarse á los planetas, si se admite que la masa interior es líquida y la corteza sólida de poco espesor respecto del radio mismo del planeta; la corteza reemplaza entonces la membrana hipotética de las experiencias de Plateau. Estudiaremos en primer lugar el siguiente problema: Forma de equilibrio de una membrana flexible é inextensible sometida interiormente á una presión normal constante y animada de una rotación uniforme al rededor de un eje fijo. Por razón de simetría una de las soluciones posibles de este problema, corresponderá evidentemente á una superficie de revolución con centro al rededor del eje de rotación; examinaremos únicamente esta solución. Consideremos entonces un elemento de superficie limitado por dos meridianos y dos paralelos y sean ds, ds' sus dimensiones según el meridiano y el paralelo; designemos por P la presión normal constante por unidad de área, y por p la densidad de la membrana ó sea la masa de la unidad de área; sea también T la tensión por unidad lineal de membrana en el centro del elemento considerado. La tensión T puede variar de unhpunto á otro de la membrana pero P y o quedan, por hipótesis, constantes. Las fuerzas que obran sobre el elemento considerado son: 1.0 La presión normal equivalente á una fuerza P ds ds' que pasa por el centro del elemento; 2.o La fuerza de inercia; su valor depende de la velocidad ángular o de la rotación y de la distancia x del elemento al eje; su magnitud es po2 x ds ds ́; 3.o Las tensiones; por razón de simetria, la tensión queda constante en los puntos de un mismo paralelo, por consiguiente los que obran sobre los dos meridianos tienen una misma magnitud resultante T ds; las otras dos tendrían por magnitudes re Sean, en el centro del elemento, R, R' los radios de curvatura principales (R según el meridiano), el ángulo de la normal al elemento con el eje de rotación. Proyectemos las fuerzas sobre la normal al elemento y sobre la tangente al meridiano; obtendremos las ecuaciones Consideremos en un meridiano cualquiera un sistema de dos ejes de coordenadas rectangulares cuyo origen O coincida con el centro de la superficie; sea O Y el eje de rotación y OX el eje perpendicular; se tiene La eliminación de T, entre estas tres ecuaciones define entonces la forma del meridiano. Para determinar las dos constantes designaremos por To la tensión de la membrana en los polos; en estos puntos z y t son nulos, luego C es igual á To Py C'es igual a To; en consecuencia Sean a el radio ecuatorial de la membrana y Te la tensión en el ecuador; se deduce de las fórmulas anteriores En consecuencia la tensión total de la membrana á lo largo del ecuador tiene por medida Se tiene en seguida, al remplazar á To por su valor, Estas dos últimas casaciones definen entonces la forma de la sección meridiana. Para efectuar la integración se pone Cuando 0=0, la ordenada y y la variable u son nulos, luego la constante de integración es igual á cero. En resumen los puntos de la sección meridiana están definidos po: las fórmulas La curva correspondiente tiene cierta analogía con la elipse, en particular cuando el coeficiente a es pequeño; en efecto, si se desprecia a2, se obtiene x= a cos y=a (1-a) sen 6 Estas son las ecuaciones de una elipse y su achatamiento es igual á a. En el caso general el radio polar by el achatamiento e tienen los valores siguientes Si a es pequeño el valor de ε puede reemplazarse por un desarrollo en serie y se obtiene Sean P la presión normal de la membrana por unidad de área; o su velocidad angular; a el radio ecuatorial, p la densidad y x un coeficiente numérico definido por la fórmula El achatamiento de la membrana según el eje de rotación es Si se considera la corteza sólida de un planeta como una membrana flexible é inextensible, su achatamiento depende de la presión normal P ejercitada por el líquido interior sobre la corteza; representemos esta presión por el producto PY, se tendrá |