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AVVERTENZA

Tutte le Memorie di questo volume furono preparate per la stampa e rivedute

dai professori FRANCESCO GERBALDI ed ERNESTO PASCAL.

CXCI.

SUR UNE CLASSE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

DU SECOND ORDRE.

Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCI (1880), pp. 317-319.

La classe d'équations différentielles du second ordre que je vais considérer dans cette Communication comprend, entre autres, l'équation de LAMÉ, celles de M. HERMITE *) et de M. GYLDÉN **), enfin celles que j'ai étudiées dans deux articles publiės dans les «< Annali di Matematica » ***).

Soient y,, y, deux intégrales particulières de l'équation différentielle

2

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2

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Soit y (x) = 4x3 —g, xg, et e une racine quelconque de l'équation (x) = 0. Supposons

dx.

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늘 (봄+)

9 =

xx + 3,

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*) HERMITE, Sur l'intégration de l'équation de LAME [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. LXXXIX (1880), pp. 9-18].

**) GYLDÉN, Sur une équation différentielle linéaire du second ordre [Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XC (1880), pp. 208-209]; Sur quelques équations différentielles linéaires du second ordre [Ibid., pp. 344-345].

***) [LXXIII: t. II, pp. 177-187; LXXVII: t. II, pp. 203-208].

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équations dans lesquelles p, z, ß sont trois indéterminées; et indiquons par F(x) un polynôme du degré n:

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Les coefficients a, b, ... de F(x) sont tous déterminés en fonction de n, p et des racines de l'équation (x) = o, sauf dans le cas où po, car dans ce cas l'un de ces coefficients, par exemple a, reste indéterminé. C'est le cas de l'équation de LAMÉ pour laquelle on a, comme il est

connu:

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On voit tout de suite que, en supposant nombre entier, positif ou négatif, pour impair les intégrales y,, y, sont algébriques, pour ? pair elles sont elliptiques. II. On a :

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les coefficients a, b,

sont tous déterminés et les intégrales y,, y, sont algébriques

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Les coefficients a, b, ... sont tous déterminés, sauf que pour ? : = 2 l'un d'eux, par exemple a, reste indéterminé. Ainsi, si p = 2, et par conséquent

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les intégrales y,, y, sont elliptiques et le coefficient ẞ est indéterminé, comme dans l'équation de LamĖ.

Dans ce troisième cas aussi, pour p impair, les intégrales sont algébriques; pour ? pair, elliptiques.

Quant à la valeur de la constante C, si l'on indique par o une racine de l'équa= 0, on trouve, pour les trois cas:

tion F(x)

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