4° Les tangentes communes aux courbes représentées par les équations v=o, y=0 sont les tangentes de rebroussement pour la première courbe.

Si u = 0 est l'équation rendue homogène d'une surface de degré m entre quatre coordonnées linéaires:

5° Lorsque le déterminant ▲ de cette fonction est identiquement nul, l'équation représente un cône,

6° La ligne d'intersection des surfaces représentées par les équations u=0, A=0 est une ligne d'inflexion (ligne des points paraboliques), pour la première surface.

Si vo est l'equation rendue homogène d'une surface de la classe n entre quatre coordonnées planaires :

7° Lorsque le déterminant ▾ de cette fonction est identiquement nul, l'équation représente une courbe plane,

8° La développable circonscripte aux surfaces représentées par les équations v = v = 0 est enveloppée par les plans tangents le long de la ligne de rebroussement de la première surface.

Soit u une fonction algébrique, entière et rationnelle, du degré m, des variables x,. Si l'on rend homogène l'équation uo en posant, au lieu des va

Ces formules donnent le moyen de transformer le déterminant suivant:

et comme, en ajoutant respectivement aux éléments de la première colonne ceux de la deuxième multipliés par -x,, ceux de la troisième multipliés par x2, etc., la valeur du déterminant H ne change pas, et, ayant égard aux équations (1), on aura:

J'observe que le second de ces deux déterminants est égal au suivant:

ou, en répétant l'opération indiquée ci-dessus, en ayant soin toutefois de substituer les

Analoguement, si v est une fonction algébrique entière rationnelle de degré n des variables 19 Z29 ..., Z,, et si l'on pose

I

Les déterminants A et sont respectivement des degrés (+1)(m — 2) et

Je suppose les variables x, x,, ..., X1; Z, Z1, systèmes d'équations

En prenant la dérivée de chacune des équations du premier système selon x。, x,,...,x,, en ayant égard aux équations du second système, on aura (r+1)2 équations, lesquelles peuvent se déduire des deux suivantes:

et, à cause des équations (3), on a, pour toutes les valeurs de x, x,, 20, 21, Z, qui satisfont aux équations u = o, v = o, la suivante:

,,

ox, et de

J'observe que si le déterminant Hessien A est identiquement nul, on a, par l'équa

est elle-même homogène. Analoguement si yo identiquement, l'équation

Pour toutes les valeurs de x,, x,, ..., x, qui satisfont à l'équation u = o, et rendent H o, on a ▲ = 0.

Applications géométriques. Si l'on suppose r = 2 et Ao ou yo identiquement, les équations :

u(x,, x,) = 0, v(x,, x,) = 0,

sont homogènes, et l'on a les théorèmes 1er et 3o.

Si l'on suppose r = 3 et A= O ou v

o

o identiquement, les équations

u(x,, x,, x,) = 0, v(x,, x2, x ̧) = 0

sont homogènes, et l'on a les théorèmes 5° et 7o *).

En désignant par R le rayon de courbure d'une courbe plane représentée par l'équation u === o, on a:

H

(5)

Aux points d'inflexion de cette courbe, on a R∞, par conséquent H = o, et

Cette équation représentant une courbe plane du degré 3 (m2), les points d'inflexion de la proposée seront, en général, 3 m (m2). Aux points doubles de la courbe u = o, on a

par conséquent Ho, et l'équation (5) aura lieu aussi pour ces points (théorème 2o) **).

Aux points de rebroussement de la courbe vo, on a Ro, par conséquent H = ∞ et A= ∞, ou, en ayant égard à l'équation (4):

Cette équation représente une courbe plane de la classe 3(n-2), et les tangentes de rebroussement de la proposée qui, en général, seront en nombre 3n(n-2) seront les tangentes communes à cette courbe et à la courbe vo (théorème 4o) ***). On doit se rappeler que, les équations = o, vo représentant une même

*) PLÜCKER, System der Geometrie des Raumes, Dusseldorf, 1846, p. 17.

**) Voyez l'excellent traité de M. SALMON, Treatise on the higher plane curves, Dublin, 1852, P. 72.

***) HESSE, Ueber Curven dritter Classe und Curven dritter Ordnung [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. XXXVIII (1849), pp. 241-256].