peut s'exprimer de la manière suivante, tous les termes étant divisibles par p: = (a + 1)(b + 1) (c + 1) w+ + (a + 1) (b − 1) (c − 1) x4 + (a − 1)(b + 1) (c − 1) y2 + (a − 1) (b − 1)(c + 1)za +2(a−bc)[(a + 1) w2x2 + (a − 1)y2z2] +2(b − ca)[(b + 1) w2 y2 + (b − 1)z2x2] + 2(c― ab) [(c + 1) w2 z2 + (c − 1)x2 y2] — 4 Kwxyz, − x2 y2] équation de la surface de KUMMER sous la forme considérée par M. BORCHARDT. Si l'on désigne par w。, x。, Y., Z。 les coordonnées d'un des points singuliers de la surface, on démontre facilement que leurs valeurs sont proportionnelles aux expressions √(a − 1)(b + 1)(c + 1), √(a — 1)(b − 1)(c — 1), √(a + 1)(b + 1)(c — 1). 18 avril 1881. CXCV. SUR UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCII (1881), pp. 1389-1393. Le système d'équations différentielles que je vais considérer ici a une grande analogie avec celui qui a été étudié par M. HALPHEN dans sa Communication à l'Académie des Sciences du 9 mai de cette année *). En posant du; u, ce système d'équations différentielles est le suivant (1) u'2+u';=u ̧u,+q(x), u'; +u';=u ̧u,+q(x), u', +u'2 = u, u2+q(x), I (x) étant une fonction de x qu'on déterminera plus tard. Pour M. HALPHEN, P(x) = o. J'observe, avant tout, que ces équations conduisent aux suivantes : 2 3 (2) (u,—u,)u,=u', — u',, (u,—u,) u,= u',— u',, (u,— u ̧)u, — u', — u',, dont l'une quelconque est conséquence des deux autres. On pourra donc poser *) HALPHEN, Sur un système d'équations différentielles [Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCII (1881), pp. 1101-1103]. BRIOSCHI, Tomo V. 3 Les équations différentielles (2) seront donc satisfaites en posant D'autre part, en substituant ces valeurs de u,, u,, u, dans les équations différentielles données (1), on voit tout de suite qu'elles seront satisfaites si (4) (5) Considérons maintenant les deux équations différentielles du second ordre: On sait depuis longtemps, par les recherches de M. KUMMER sur les séries hypergéométriques *), que de ces équations on déduit l'équation différentielle du troisième ordre *) KUMMER, Über die hypergeometrische Reihe [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. XV (1836), pp. 39-83, 127-172]. l'équation de condition (4) se réduit à celle de M. KUMMER, et l'on pourra obtenir la valeur dedans les cas connus d'intégration de cette équation différentielle. Les valeurs de P, R qui donnent, pour 4 R sus sont: dP dૐ P2 — 2 l'expression ci des La seconde des équations différentielles (5) pourra donc s'intégrer au moyen de séries hypergéométriques, ou, en indiquant par w。, w, deux intégrales particulières, on' aura: ه لله F(,, 1, 5), w1 = F(;, ;, 1, I — الله F(α, ß, y, ) étant, selon l'algorithme ordinaire, une série hypergéométrique. poser Si la première des équations différentielles (5) a la même propriété, on pourra et l'intégrale générale de l'équation (6) sera donnée par la relation Les séries hypergéométriques w。, w, peuvent s'exprimer, comme il est connu, par des intégrales définies de la manière suivante: Si donc on suppose -k2, k étant le module des fonctions elliptiques, on aura: |