CCXXVIII.

SUR L'ÉQUATION DU SIXIÈME DEGRÉ.

Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 3ème série, t. XII (1895), PP. 343-350.

un de ses covariants du quatrième ordre. Les invariants A, B, C des second, quatrième, sixième degrés seront

et B, C les deux invariants de la forme biquadratique k. Au lieu de B, C, j'introduirai les invariants suivants

L = 4. 5 (4 A2 — 3. 52 B), M = 8. 5 (7. 8 A3 — 4. 32.52 AB — 33. 53 C),

et j'indiquerai par 66▲ le discriminant de f.

Soient, deux formes du troisième ordre, et

on a, comme il est connu, les deux invariants simultanés

J = (94),, E = (u v)2,

et les deux D, R; étant D le produit des discriminants des formes,, et R le résultant des formes mêmes.

Si l'on suppose f=4, on a, entre ces invariants, les relations

ayant posé

3. - 36

M = G − 2 RJ G — — D G + R2, 6° a = 3° R' D,

2

4

G — J2 — 9 E.

I

2

A R2

X4

2. Soient x, x ̧, ..., x, les racines de l'équation f(x) = 0; x, x2, x, celles de p(x) = 0; x ̧, x,, x, celles de (x) = o. Les six expressions de ces racines.

dans lesquelles (rs) = x, — x,, ont des propriétés remarquables. On a en premier lieu :

3

et, en indiquant par s1, s2, s, les sommes des trois premières puissances de l, m, n, et par 7,, 29 σ celles de λ, u, v, on trouve:

3

évidemment les équations dont les racines sont Z,, Z3, Z, ou Z。 Z2, 4 auront pour coefficients des fonctions des invariants simultanés J, G, D, R.

z3 +9, 22 + q2z+ 9; = (x − 3) (x — z.) (z — z,) ;

on trouve, à cause des relations supérieures, que

Il en résulte que, dans l'équation du sixième degré dont les racines sont 。, Z., ..., Z;, les coefficients de zet z3 seront nuls, et l'équation même prendra la forme ༢,,

Cette équation n'est pas nouvelle, elle a été déjà calculée par le P. JOUBERT dans son beau travail Sur l'équation du sixième degré *); mais, dans la forme indiquée cidessus, elle se prête à une importante transformation.

3. Avant d'aborder cette transformation, il est nécessaire d'exposer d'autres propriétés des quantités l, m, n; λ, P., Y.

*) [Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LXIV (1867), pp. 1025-1029, 1081-1085, 1237-1240].

BRIOSCHI, tomo V.

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4. La transformation de l'équation due au P. JOUBERT s'obtient en posant

*) Burkhardt, Untersuchungen aus dem Gebiete der hyperelliptischen Modulfunctionen [Mathematische Annalen, t. XXXVI (1890), pp. 371-434 (p. 409)].

Les invariants L, M, A, A▲, coefficients de la transformée, s'expriment par conséquent en fonctions des dix quantités ct,. On trouve, par exemple:

5. Ce résultat conduit directement à la résolution de l'équation du sixième degré.

W

W

(23

et indiquons par 01, 12, 13, 15 21 22 23 24 les périodes normales primitives. Soient

4