CCXXXV. ÜBER DIE JACOBI'SCHE MODULARGLEICHUNG VOM ACHTEN GRAD. Mathematische Annalen, t. XV (1879), pp. 241-250. SI. Die wichtigen Resultate, welche Prof. KLEIN *) neuerdings hinsichtlich der Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen erhalten hat, haben meine Aufmerksamkeit auf einige Untersuchungen zurückgelenkt, die ich vor mehreren Jahren hinsichtlich der JACOBI'schen Modulargleichungen vom achten Grad begonnen hatte. In einer kurzen Note, welche dem « Istituto Lombardo di Scienze » im Januar 1868 vorgelegt wurde **), veröffentlichte ich die ausgerechneten Werthe der Coefficienten dieser Gleichung, aber die scheinbare Complicirtheit dieser Ausdrücke gestattete mir damals nicht zu den Folgerungen zu gelangen, welche Hr. KLEIN auf anderem Wege gewonnen hat. Die Berechnung der allgemeinen JACOBI'schen Modulargleichung vom achten Grad lässt sich sehr leicht auf folgende Weise bewerkstelligen. Es seien Z, Zo, ... 26 die Wurzeln, und *) KLEIN, Über Gleichungen siebenten Grades [Sitzungsberichte der Phys. Medic. Societät zu Erlangen, t. X (1878), pp. 110-111, 119-123]; vergl. auch: KLEIN, Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen [Mathematische Annalen, t. XIV (1879), pp. 428-471]. **) [CXVII: t. III, pp. 243-247]. BRIOSCHI, tomo V. 29 wo a, b, c, d, e folgende cyklische Functionen der a, a, a, bezeichnen: Diese fünf Grössen sind nicht unabhängig, sondern es bestehen zwischen ihnen folgende zwei Relationen: (2) ae — bd + c2 7 a2 b = 0, ce — d2 — a2d b3 2abc-7 at 0. Aus den Formeln für die Potenzsummen ergiebt sich nun unmittelbar : [] (x − p1) = x2 — 14 a xa — 7 b x3 — 14 c x2 — 7 dx — e, und die JACOBI'sche Modulargleichung achten Grades entsteht durch Ausmultipliciren folgender drei Factoren: (x + 7 α)[ ] (vz − a − p.)[](√z+ a +P1) 0. Die Coëfficienten der JACOBI'schen Gleichung sind also aus a und den fünf Grössen a, b, c, d, e, zwischen denen die Relationen (2) bestehen, zusammengesetzt. Man findet: 4 α (3) 2o — 14 A 26 +14B25 — 7 Cz1 +14 Dz3 — 7 Ex2+(72 a2 F — H2)z— 7 a2 H2—0, wo offenbar: a ad I [ ](a + p‚) = a + 14a¦ a — 7 æ3b+14a°c — 7a ̧d+e, und 2 8 F = 75 a12 — 14.73 ao A — 14.72 ao B — 7.7 at C — 14 a2 D — E. Die Coëfficienten A, B, C, D, E haben folgende Werthe: C = 30a8—252a5a+14a3b+140a3c+42a3(2a2+d)+2a ̧ (14 ab+e)+7(8ac — b2), ΙΟ ato D= 16 a1o — 184a7a+84 ab + 28 ac + 14 at (22 a2 — 7 d) — 4 a3 (14 ab + 3 e) +14a3(b2 — 12ac) + 14a (bc — 3 ad)+7bd — 14c2 — 2ae, 12 8 6 α E = 20 a12 — 172 a3 a + 190 a b — 360 a. c + 28 a (38 a2 — d) — 4 as (126 a b — 19 e) +14 at (9b2 — 32a c) — 28 a3 (5 b c — 19 ad) — 2 a2 (49 b d — 70 c2 — 26 a e) +2a6 (14cd — 3 be) + 4ce — 7 d2. Eliminirt man zwischen den beiden Relationen (2) die Grösse e, so erhält man folgende Beziehung, welche man an Stelle der zweiten Bedingung (2) setzen kann: — ad — 5a3). c3 + a b3 + 27 a3 — 9 a2bc = (d — 4 a2) (bc — Die linke Seite dieser Gleichung zerlegt sich in die beiden Factoren: Setzt man also, unter k einen numerischen Coëfficienten verstanden: 3 ka3 3 c2+a3 b2 + 3 (k2+3k+3) aa3 +(k2 — 3) a2b+(k2 — 3) a3 c—(k+1)a3⁄4bc=0. α Nimmt man nun k=3, so ist das erste Glied dieser Gleichung nichts anderes als das Quadrat von P, und also hat man in diesem Falle folgende Relationen: Unter der hiermit eingeführten Voraussetzung werden also die Coëfficienten A, B, C, ... Functionen von a, a, b allein, und man hat z. B.: B = (a — a3) (12 a — 8 a3) + 10 (a3 — a ̧)(a ̧b— 3 a3), also Bo, wenn man überdiess a 3 do setzt. Führt man dementsprechend in die oben angegebenen Werthe von A, B, C, ....... statt a, c, d, e folgende Werthe ein: ao, (5) a = a3, c = a (b+3a), d = 4a6, a ̧e = — b2 + 5 at b — 9 α8, so kommt: A = b+8at, a ̧ H = A2, und also: I Schreibt man endlich 16 6 2 0 7 a2 (73 a16 — 14. 7° a” A + 63 · 7* a3⁄4Â3 — 70. 73aƒÆ3 — 7 Â1) · α a8 A2 2 at Diese Gleichung (6) [offenbar die einfachste unter den JACOBI'schen Gleichungen achten Grades] wurde von Prof. KLEIN der Erlanger Societät zuerst in der Sitzung vom 4. März 1878 mitgetheilt. Betonen wir noch ausdrücklich, dass wir, um zu ihr zu gelangen, nur folgende zwei Annahmen gemacht haben: denn die anderen Relationen (5) sind nur Folgerungen aus diesen Gleichungen und den Identitäten (2). Nun lässt sich die zweite dieser Gleichungen folgendermassen schreiben: I d — a2 + 3 a3 b + 3 a3 c + 6a2 = 0. Substituirt man hier für a, b, c, d die Werthe (1), so erweist sich die linke Seite als Cubus der linken Seite folgender Gleichung: und die beiden eingeführten Annahmen reduciren sich also auf (7) und diese: Multiplicirt man jetzt die Gleichung (7) mit dem Factor Vaa ̧, 2 a2 a1 + a12 a2 + a2 a = o. 2 3 und also genügen die Cuben der Wurzeln z der JACOBI'schen Gleichung (6) selbst einer JACOBI'schen Gleichung. $ 2. ε Wir wollen jetzt mit a, P, 7, 8, & fünf Grössen bezeichnen, welche ebenso aus drei Zahlen c1, c2, C, zusammengesetzt sind, wie die a, b, c, d, e nach Formel (1) aus Dann bestehen zwischen den a, B, jedenfalls zwei Relationen nach den a,, a, a,. Art der (2). 3 2 Betrachtet man jetzt |