Si enfin l'on suppose pro, et en conséquence (x)
r = o, et en conséquence p(x) = o (c'est le cas de

= o, et l'on pourra poser x = log q; les valeurs de u,,

2

L'équation différentielle du troisième ordre (6) contient trois termes qui sont formés de la même manière. En effet, si l'on pose

Soit x une fonction d'une nouvelle variable ; on obtiendra facilement les formules de transformation:

par lesquelles la dernière devient, sans aucun changement de forme, la suivante :

Mais, en indiquant par v1, v2, v, les trois fonctions qu'on déduit de u,, u2, u,

Dans le cas considéré par M. HALPHEN: [y]= 0, [y], = o, [y]=0; en conséquence,

CXCVI.

SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE.

Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCIII (1881), pp. 941-942.

KUMMER a démontré *) qu'étant données deux équations différentielles linéaires du second ordre:

*) KUMMER, Über die hypergeometrische Reihe [Journal für die reine und angewandte Mathematik,

t. XV (1836), pp. 39-83, 127-172].

Si P, Q peuvent s'exprimer en t comme p, q en x et que y = F(x) soit une intégrale de (a), z = F(t) sera pareillement une intégrale de (b), et l'on aura:

F(x) = w F(t).

La théorie des fonctions hypergéométriques et celle des fonctions elliptiques donnent des exemples de cette propriété des fonctions P, Q, p, q. Le plus important est dû à LEGENdre.

Si l'on suppose x = k, t = ^ (^, k modules), w = M (M multiplicateur), y=aK+bK', z=α A + B A' *), l'équation (3) devient dans ce cas ẞA'

l'équation différentielle du troisième ordre ainsi obtenue est un résultat auquel JACOBI attache une grande importance: Inter affectus æquationum modularium, id maxime memorabile ac singulare mihi videor animadvertere ... **).

On trouve d'autres exemples dans un Mémoire de KUMMER, de l'année 1834, publié dans le Programme du Gymnase de Liegnitz ***). Les recherches plus récentes de MM. SCHWARZ, KLEIN, CAYLEY, FUCHS, et les miennes, ont toutes pour point de départ le système d'équations ci-dessus.

5 décembre 1881.

*) JACOBI, Fundamenta nova theoria functionum ellipticarum, Regiomonti, 1829 [p. 76]. **) Ibid., p. 74.

***) KUMMER, De generali quadam æquatione differentiali tertii ordinis (Abdruck aus dem Programm des evangelischen König. und Stadtgymnasiums in Liegnitz vom Jahre 1834) [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. C (1887), pp. 1-9].