Quadratwurzel der Wurzel einer JACOBI'schen Gleichung achten Grades zu sein überträgt sich auf √Y'. Sie überträgt sich zugleich auf √Y", √Y"":

√Y" = (y2 + 14ys + 62y3 + 67 y +4t)√ỹ, √/Y''' — — (y2 + 5) √y ; denn man findet folgende Relationen:

Unter (y) den Ausdruck (12) verstanden, werde jetzt gesetzt

wo einen von y unabhängigen Parameter bedeuten soll. Dann folgt aus (13):

Sei ferner '=6,, so erhält man durch abwechselnden Gebrauch der beiden für §

Σε

Bezeichnet man nun mit (u) die bekannte WEIERSTRASS'sche Function, so ist *):

Ich zeigte ferner schon vor einigen Jahren dass unter ✓ den JACOBI'schen Coëfficienten B verstanden, der im Zähler und Nenner der einer Primzahl n entspre

n រ
2

chenden Transformationsformel auftritt, und der durch die Formel definirt ist

wo p. den Multiplicator, λ, k die beiden Moduln bedeutet dass dann folgende Formel Statt hat:

μ

v

d. h. ebensowohl als √ sind Quadratwurzeln von Wurzeln JACOBI'scher Gleichungen, ein Satz, der für eine beliebige Primzahl n mit Leichtigkeit aus der Reihenentwickelung geschlossen wird.

Der so definirte neue Multiplicator y, den ich als KLEIN'schen Multiplicator zur

*) MÜLLER, De transformatione functionum ellipticarum. Dissertatio inauguralis, Berolini 1867.

Unterscheidung von dem gewöhnlich gebrauchten JACOBI'schen Multiplicator bezeichnen will, hängt mit letzterem durch die Formel (19) zusammen:

wo A, A' die Discriminanten der beiden biquadratischen Polynome sind, welche sich unter den Quadratwurzeln der beiden durch die Transformation verbundenen elliptischen Differentiale befinden. Unter f(x) die fraglichen Polynome verstanden, bezeichne ich dementsprechend mit Herrn KLEIN als Normalform des elliptischen Integrals die folgende:

CCXXXVI.

SUR QUELQUES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

(Extrait de deux lettres adressées à M. F. KLEIN).

Mathematische Annalen, t. XXVI (1886), pp. 106-109.

Soient v,, v, deux intégrales fondamentales de l'équation différentielle de l'ico

12

บบ

I

12

P = z12 + 10% +5, Q = 212+42° 212 + 42° — 1, R = 212 +222 +125, on a l'équation modulaire Jacobienne pour la transformation du 5ème ordre des fonctions elliptiques sous l'une ou l'autre des deux formes:

On connait aussi que toutes les fonctions de z, lesquelles peuvent conduire à une equation modulaire Jacobienne, se divisent en deux types composés chacun de trois fonctions, et que les autres peuvent s'exprimer linéairement par les trois fonctions de l'un ou de l'autre type. J'indiquerai par 。, 1, 2 les fonctions d'un type, par 4,41, 42 celles de l'autre; et l'on a, comme il est connu: