CXCVII.

SUR UNE APPLICATION DU THÉORÈME D'ABEL.

Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCIV (1882), pp. 686-690.

1. Dans une Communication à l'Académie du 14 février 1881 *), j'ai démontré comment le théorème d'ABEL se prêtait à l'étude de l'équation différentielle de LAME. Les formules que j'ai données dans cette première Communication contiennent, je pense, les éléments nécessaires pour la solution de l'équation de LAMÉ dans toute sa généralité. Parmi les nombreuses conséquences de ces formules, celles qui suivent conduisent facilement aux résultats publiés par M. HERMITE, pour le cas de n = 3, dans les « Comptes Rendus » du 13 février dernier **).

Je considère ici, comme dans ma première Communication, le cas de n impair, et je rappelle l'équation fondamentale

(1)

℗2 (X) — ¥2 (X)q(x) = F(x) (x − §),

dans laquelle X = x — p. On aura donc, pour les racines x,, x,, ..., x, de l'équation F(x) = 0:

desquelles, si l'on pose S, = Σ X', on déduit les relations suivantes:

*) [CXCIII; t. V, pp. 7-11].

**) HERMITE, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, SS 36-37 [Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCII (1881), pp. 372-377].

BRIOSCHI, tomo V.

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Or j'ai énoncé, dans ma première Communication, que μ 27,; on aura ainsi :

pour r = I, 2, ..., n, on voit tout de suite que la valeur de C2 en fonction des coefficients de l'équation F(x) = o, donnée dans ma Communication antérieure, devra avoir comme facteur le discriminant A, et l'on aurą:

e,, e2, e, étant les racines de l'équation (x) = o, et l'on aura, en conséquence:

fo, fi, f, étant des polynômes en des degrés n-1, n 2, n, et 。, 12 des fonctions rationnelles, mais fractionnaires, de p. Or, en posant

Enfin, entre autres formules générales, je cite la suivante, qui nous

sera utile

Les équations (4) et (5) donnent, pour les valeurs de u2, en fonctions de p, les expressions suivantes:

formules déjà données par M. HERMITE dans sa Communication du 13 février.

3. Pour une racine quelconque de l'équation F(x) = o, étant

mais, comme j'ai démontré, dans ma première Communication:

. Or est évidemment un polynôme en p du degré n—1,

I,

et DA ou C2 un polynôme du degré 2n + 1; la relation générale (5) conduit, par conséquent, à la réduction d'une intégrale hyperelliptique de la classe n— 1 à l'intégrale elliptique de première espèce. Pour n = 3, = − 6 (5 ×1⁄2 + 8,), on aura donc :

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