Au moyen de ces équations on peut exprimer le discriminant d'une forme quelconque à deux indéterminées en fonction de ses invariants. Par exemple, pour la forme du quatrième degré les trois premières équations sont satisfaites, et la quatrième nous donne: de laquelle I Pr 4 A да 3 Pr да, , 3 J1⁄2 (12 J; + 4a1⁄2 J2) + 2h J, (J2+6 a2J,) = 12 a ̧ V, ce que l'on sait déjà. 2 4. Les relations données par les formules (3) nous sont utiles pour transformer quelques expressions formées avec les quantités S, en autres formées avec les quanNous considérons ici les expressions de la forme suivante: lesquelles se présentent dans l'application du théorème de STURM à la recherche du nombre des racines réelles de l'équation f(x) = 0; comme l'ont déjà demontré MM. SYLVESTER et JOACHIMSTHAL, et moi-même dans une Note publiée dans les Annales de M. TORTOLINI *). Pour effectuer cette transformation j'observe que Au moyen de cette formule et d'une propriété très connue des déterminants nous obtenons une première transformation: Les quantités A, sont, à un facteur près, les dénominateurs des réduites de la fraction continue dans laquelle on peut développer f(x) (x); par conséquent les trois quantités ▲,, A-,, ▲, seront liées par une équation, comme il a été démontré autrement par r r-2 M. JOACHIMSTHAL. *) [XX: t. I, pp. 127-142]. BRIOSCHI, tomo V. 36 Il est évident, d'après les considérations supérieures, qu'on aura: résultat donné par M. JACOBI dans son Mémoire De eliminatione variabilis e duabus æquationibus algebraicis [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. XV (1836), pp. 101-124]. CCXLV. SUR UNE FORMULE DE M. CAYLEY. Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. LIII (1857), pp. 377-378. M. CAYLEY a donné récemment une relation très remarquable entre les covariants. de la forme biquadratique En indiquant par v le Hessien de la forme u, par le déterminant 3 J2, J, étant les invariants quadratique et cubique de la forme u. M. CAYLEY a démontré aussi comme on peut déduire de la résolution de l'équation (1) J ̧ u3 — J, Hu2 + 4H3 = 0 3 celle de l'équation uo. Or on peut observer que l'équation (1) résulte de l'élimi nation des quantités a, b entre les deux équations: au+bH = 0, = 4a3 — J2 ab2 — J ̧ b3 — 0, 3 de la seconde desquelles, ainsi que M. HESSE l'a démontré *), on obtient des valeurs du rapport a:b qui rendent l'expression au +bH égale au produit des carrés de deux fonctions linéaires. L'équation o est par conséquent l'équation du sixième degré considérée par M. HESSE **), et dont les racines ont la propriété d'être quatre à quatre en rapport harmonique. Le covariant joue dans la théorie des formes biquadratiques un rôle analogue à celui que joue le Hessien dans la théorie des formes cubiques. On trouve, par exemple, que l'invariant quadratique de cette fonction est égal à du discriminant D de la forme u; que, en posant U = au+bH, et indiquant par V le Hessien de la forme U, de sorte que V = Au+BH, I 6 A = 12b(2aJ2+ 3bJ;), B = 12(12 a2 — b2 J1⁄2), *) HESSE, Transformation einer beliebigen gegebenen homogenen Function 4. Grades von zwei Variabeln durch lineäre Substitutionen neuer Variabeln in die Form, welche nur die geraden Potenzen der neuen Variabeln enthält [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. XLI (1851), pp. 243-263 (pag. 253)]. **) Ibid., pag. 259. |