2n- 2 puissances de x2-2 et de x° dans l'équation (3), et l'on trouve: Les formes obtenues pour les fonctions (x), 2(x) sont, à un facteur près, celles auxquelles JACOBI avait été conduit par la considération du théorème d'ABEL. En éliminant y des valeurs de a,, a, on a une intégrale algébrique rationnelle du second dégré des équations (1): (E,D ̧ — E ̧D‚)2 = 4(H, — 2 A ̧ a,)(H ̧ — 2 Ã ̧à ̧)(D,E ̧ + D ̧E) — DE(H ̧ — 2 Ã ̧α ̧) — D ̧E ̧(H ̧ — 2 Ã ̧a‚); et en éliminant y2, y, considérées comme deux variables, des valeurs de a,, a,, a, on obtient l'intégrale linéaire I H。 3. Soit f(x) une fonction entière du degré n+i−1, où i<n; et en désignant par c une quantité constante posons: I Mais V, est le coefficient de, dans le développement suivant les puissances descendantes de x, de l'expression 2 Ry+S−2¢ (x) √ A ̧ 4 RVA 2 y↓ (x)√A ̧ ̄ ̄ ̄ (Ry+S)2 — 4 4。 p2 (x) ̄R y+S+29(x)VA [Ry+S— 2 q(x)√Ā ̧]22 2f(x) 2f(c) 100 y R(c) + S (c) + 29 (c) √ Ã ̧ (x — c)q(x) VA log y R (x) + S(x) + 29 (x) √ A1] y R(x)+S(x) — 29 (x) √ Ā。 √x-1' formule de laquelle on pourrait déduire le théorème d'ABEL. I Pavie, août 1857. CCXLVII. DÉVELOPPEMENTS RELATIFS AU S 3 DES RECHERCHES DE DIRICHLET SUR UN PROBLÈME D'HYDRODYNAMIQUE *). Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. LIX (1861), pp. 63-73. 1. Le § 3 de l'important Mémoire de DIRICHLET est consacré à démontrer que le mouvement de l'ellipsoïde fluide peut se décomposer en deux mouvements simples, l'un de translation, l'autre de rotation autour d'une droite. La connaissance des vitesses qui composent ces deux mouvements dépend de la détermination des cosinus des angles que trois axes nouveaux des E, n, forment avec les axes donnés des x, y, z; ou enfin de la résolution d'une équation du troisième degré. Bien que cette décomposition, comme l'a déjà observé DIRICHLET, ne soit pas d'une utilité réelle pour la solution du problème, nous croyons néanmoins qu'elle jette assez de clarté sur la question pour nous engager à l'approfondir. En adoptant les signes de DIRICHLET, on a pour les vitesses u, v, w les valeurs [équations (1) du § 3]: u = gx + by + kz, v = g' x + h' y + k'z, que l'on peut présenter sous la forme suivante: w=g" x + h" y + k" z, u = g x + 1 (b + 8') y + ÷ (k + 8'') z + — (k − g′′) z — — (g' — h)y, V W= — (g' + h) x + h' y + ÷ (k' + b'') z + ÷ (g' − h) x − — (h'' — k')z, I 2 2 = (g" + k) x + = (b'' + k') y + k'' z + ÷ (h" — k')y — — (k — g'') x. *) LEJEUNE DIRICHLET, Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik (Aus dessen Nachlass hergestellt von Herrn R. DEDEKIND zu Zürich) (Aus dem achten Bande der Abhandlungen der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen abgedruckt) [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. LVIII (1861), pp. 181-216]. On pourra par conséquent supposer le mouvement de l'ellipsoïde décomposé en deux mouvements; l'un de translation défini par les vitesses u,, v,, w, parallèles aux axes des x, y, z; l'autre de rotation défini par les vitesses angulaires p', q', r' autour des mêmes axes. Rapportons ces mouvements aux trois nouveaux axes des §, n, ; et soient p, q, r les vitesses parallèles à ces axes, on aura avec DIRICHLET: où a désigne une indéterminée; posons encore les deux systèmes d'équations analogues à (4) que l'on obtient en remplaçant x, x', x', a d'abord par ß, B', p", b et puis par Y, Y', Y'', c; nous aurons: p=a(xx+x'y+a"z), q=b (P x + P' y + B'' z), r= b (P x + P' y + ß"z), _r=c(yx + y' y + r′′z), ou à cause des relations (3): (5) p = a, q=ba, r = ch. |