De la forme de ces équations différentielles et de celle des quantités A, k on conclut immédiatement qu'à une solution du problème représentée au moyen des équations CCXLVIII. RELATIONS DIFFÉRENTIELLES ENTRE LES PÉRIODES (Extrait d'une lettre de M. F. BRIOSCHI à M. L. FUCHS). Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. CXVI (1896), pp. 326-330. 1. L'étude de vos intéressantes communications à l'Académie de Berlin *) m'a reconduit à la considération des relations différentielles existantes entre les périodes des fonctions hyperelliptiques p = 2. Je m'étais déjà occupé de ces relations, mais d'un point de vue un peu différent, dans une communication à l'Académie des Lincei **), mais les propriétés caractéristiques, et selon moi d'une grande importance, de votre équation différentielle du cinquième ordre ***) m'ont montré que par cette voie on serait arrivé à de nouveaux résultats. d'une équation relation quadratique, l'invariant de son adjointe ****). Vous savez que si un système fondamentale d'intégrales y,, y2, y; différentielle du troisième ordre est lié par une l'équation est nul, et l'équation est équivalente à M. DARBOUX a dédié un chapitre (le sième livre IV) de sont excellent Traité Leçons sur la théorie générale des surfaces (2ème Partie, pp. 99-121) aux équations dif *) FUCHS, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen [Sitzungsberichte der K. P. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1888, pp. 1115-1126, 1273-1290; 1889, pp. 713-726; 1890, pp. 21-38]. **) [CLI: t. IV, pp. 53-69]. ***) [Sitzungsberichte etc., 1890, p. 24, équation (1)]. ****) FUCHS, Ueber lineare homogene Differentialgleichungen, zwischen deren Integralen homogene Relationen höheren als ersten Grades bestehen [Acta Mathematica, t. I (1882), pp. 321-362 (p. 332)]. WALLENBERG, Anwendung der Theorie der Differentialinvarianten auf die Untersuchung der algebraischen Integrirbarkeit der linearen homogenen Differentialgleichungen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. CXIII (1894), pp. 1-41 (p. 36)]. férentielles linéaires d'ordre impair équivalentes à leur adjointe. Votre équation du sième ordre jouit de cette propriété ses deux invariants des degrés impairs sont nuls et en conséquence elle est équivalente à son adjointe. En indiquant par სა Im wami nimi nam (m = 1, 2, 3, 4) les périodes de première et de seconde espèce, et par f(x) une forme du sixième ordre, je pose avec M. WILTHEISS *): 3 Soit x une racine quelconque de l'équation f(x) = o, et ƒ,, f,, f,, leurs de ƒ,(x), ƒ,(x), etc. en substituant, au lieu de x, cette racine. On premières équations différentielles : etc. les va obtient ces I 2 do. dx' I *) WILTHEISS, Partielle Differentialgleichungen der hyperelliptischen Thetafunctionen und der Perioden derselben [Mathematische Annalen, t. XXXI (1888), pp. 134-155 (p. 136)]. les relations connues entre les périodes conduisent aux suivantes : t P13 + P24 = 0, 913 +924 = 0, t13 + 24 = 0, u13 + u2 = 0, 24 et analoguement pour les q,,, tr,,, etc. on a les relations identiques : rs9 (P1P;)=0, (9,95)=0, (t,t,)=0, (v ̧v,)=0, (u ̧u ̧)=C, (1) (p1t,)=0, (p1u,)=0, (p,v ̧)=0, (q,t,)=0, (q,u,)=0, (q,v,)=0, (t,u,)=0, (v,u,)=o, (p,q,)=C, (t,v,)=-C, étant C une constante relativement aux racines de l'équation f(x) = o, limites des intégrales w,, “2, W ; comme nous allons démontrer. Nous avons écrit: 29 I Si l'on désigne par p, q, t, ... l'une quelconque des quantités P., P2, · · ·, I 1 9 X 29 · · · ; et par p', q', t', . leurs dérivées relatives à la racine x, on déduit des équations supérieures les suivantes : 3.4ƒ, ť′ = — q — 2(3ƒ1⁄2 — 2xƒ ̧)t — 2f, u + Lp, (2) { 3.2f, u =- xq+2(3f, -3xƒ2 + x2ƒ ̧)t — 2ƒ, v + Mp, 3 3·4ƒ‚ v' = — x2q + 2(3f, − 3 x f2 + x2ƒ ̧)u + 2(3ƒ2 — 2xf,) v + Np, 2 L = $ (5f; — 9ƒ 1ƒ;), L x — M = 6(2ƒ1⁄2ƒ; — 3ƒrƒ4), Lx−2Mx+N= 34(f – Aff). 2 Ces quantités L, M, N sont liées à la forme f(x) du sixième ordre d'une manière remarquable. En effet, en indiquant par k le covariant biquadratique de cette forme |