CCLVII.

SUR LES INVARIANTS DE DEUX FORMES BINAIRES
À FACTEUR COMMUN.

(Extrait d'une lettre adressée à Mr. NOETHER).

Sitzungsberichte der physikalisch-medicinischen Societät zu Erlangen, Heft XXVII (1895), pp. 116-118.

Je vous remercie de l'envoi de votre travail : Ueber den gemeinsamen Factor zweier binären Formen *).

Permettez-moi de vous communiquer un théorème sur la même question, théorème qui est une extension, aux racines communes à deux équations, de celui pour les racines multiples d'une équation, que j'ai communiqué au mois d'Octobre à l'Académie des Sciences **).

Le théorème est le suivant: Si les équations (x) = 0, (x) = 0 ont une racine commune y et par conséquent

Q(x) = (x − y)α (x), ↓ (x) = (x − y)ẞ(x);

un covariant simultané quelconque H de 9, 4, du degré p pour les coefficients de pour ceux de, et d'ordre m; ou, dans l'opportun algoritme adopté par Mr. VON GALL****),

H

(p, q, m)

*) [Sitzungsberichte der physikalisch-medicinischen Societät in Erlangen, Heft XXVII (1895), pp. 110-115].

**) [CCV : t. V, pp. 71-73].

***) Die irreducibeln Syzyganten zweier simultanen cubischen Formen [Mathematische Annalen, t. XXXI (1888), pp. 424-440].

BRIOSCHI, tomo V.

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s'exprime en fonction d'invariants et de covariants simultanés de x, ß,

fonction (p, q, m + p + q) *).

با

En posant mo on a le même théorème pour les invariants simultanés de p, . Si les équations po, o ont deux racines communes, la seconde racine sera commune aux équations α = o, B o; ainsi de suite.

Un exemple très simple rendra clair le but du théorème.
Soient,deux formes cubiques; et

g。, g1, g2 étant les coefficients de la forme quadratique g, ainsi de suite. Entre ces invariants on a la relation connue

2

-ax, B, C = (47-3 cxß),

I

A

αα

=

3'

3

I

34

α

2

E=-(CB+2bx) B, J=-31, 33

*) [Fonction du degré m par rapport à x et du degré p + q par rapport à y]. [Fonction_du_degré

,لا

En conséquence, si les équations o, o ont une racine commune, on a entre les invariants simultanés des formes cubiques, les deux relations:

La seconde doit être exclue parce que elle reproduit une relation connue entre les invariants simultanés de deux formes cubiques *); l'autre, en se rappelant que

R = 54 K — J3,

étant R le résultant des formes q,, démontre que Ro.

Si enfin l'on considère la forme biquadratique

ou encore Ro; et l'on arrive de nouveau à ce résultat en observant que les invariants i, j de ont les valeurs ***):

(x) = o aient une racine (x) = o deux racines (x)=0

commune, et en conséquence les deux équations (x) = o,

*) CLEBSCH, Theorie der binären algebraischen Formen, Leipzig 1872, pag. 227.

**) Gordan, Ueber die Bildung der Resultante zweier Gleichungen [Mathematische Annalen, t. III

(1871), pp. 355-414, (p. 383)].

***) CLEBSCH, Op. cit., p. 96.

différentes communes. On aura:

4 ab — c2 = 0,

et entre les invariants simultanés des formes, les trois relations:

R = 0,

A(8.32 C — 5 J2) = 9 D2,

=

B(8.32 C — 5 J2) = 9 E2.

Milan, le 29 Décembre 1895.

CCLVIII.

SUR UNE PROPRIÉTÉ D'UN DÉTERMINANT FONCTIONNEL.

Quarterly Journal of pure and applied Mathematics, t. I (1857), pp. 365-367.

nɔ

Soient y,, y2, ..., yn n fonctions d'une même variable x, et y la dérivée Y29 I d'ordre pième de la fonction y,. Supposons que la valeur du déterminant

soit une fonction connue de x, on pourra déterminer la valeur de y, en fonction de

Y1, Y2... Yr-1 Yr+1, ..., Yu, A, ainsi qu'il suit.

I