CXCIX.

SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS D'UNE FORME BINAIRE
DU HUITIÈME ORDRE.

Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCVI (1883), pp. 1689-1692.

Les propriétés des formes binaires f(x,, x,) des ordres quatrième, sixième, douzième, pour lesquelles le covariant

est identiquement nul, sont connues d'après les travaux de MM. SCHWARZ, FUCHS, KLEIN, JORDAN, HALPHEN, CAYLEY et les miens.

Dans cette Communication, je vais considérer le cas de la forme binaire ƒ du huitième ordre, pour laquelle

82 = mf,

m étant une constante. Une forme binaire qui jouit de cette propriété peut s'exprimer de la manière suivante:

Soient h, k les deux covariants de la forme ƒ des ordres douzième, dix-huitième :

82 h = — [(x − x)2 — 10√2.x{x}(x − x) + 50x x],

2

I

4.82 k = x18 + x18 + 17√2.x2x2(x22 — x12) — 221 x x (x + x).

BRIOSCHI, tomo V.

2

6

I 2

6

6

tique:

(1)

L'élimination de x ̧, x, de ƒ, h, k donne entre ces trois formes la relation iden

8

4

2 ƒay,
y, l'élimination de x-x, de f, h conduit à l'équation:

Or, en introduisant une nouvelle variable x liée au rapport

et l'équation (2) prendra l'une ou l'autre des formes suivantes:

dy d x

3.41

√— 1. Une première différentiation logarithmique de celle-ci conduit

où y'
à l'équation suivante :

laquelle différentiée de nouveau, et en ajoutant au résultat cette dernière multipliée par 2p, donne:

y''' + 3py" + (p' + 2 p2 + 49) y' + 2(q' + 2 p q)y = o.

Cette équation différentielle démontre que, en indiquant par v1, v, deux intégrales fondamentales de l'équation différentielle linéaire du second ordre

(5)

on a y = v2 v 2

I 2

v"+pv' + qv = 0,

Pour déterminer les valeurs des intégrales v,, v,, je transforme la dernière équation différentielle en prenant y comme variable principale; on obtient:

2

Si l'on se rappelle maintenant la valeur du produit x, x,, on voit tout de suite x,x2, qu'on peut poser v1 = x1, v2 = x,, c'est-à-dire que, les x,, x, étant deux intégrales v, fondamentales de l'équation différentielle du second ordre (5), on a, dans ce cas, pour f, h, k les valeurs suivantes:

La forme binaire du huitième ordre pour laquelle g, mf jouit donc de propriétés analogues à celles relatives aux formes des quatrième, sixième, douzième ordres déjà considérées. Il y a pourtant une différence caractéristique, parce que, pour l'équation différentielle (5), deux des trois éléments x, P, y de la série hypergéométrique sont irrationnels.

11 juin 1883.