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LES RELATIONS ALGÉBRIQUES ENTRE LES FONCTIONS

HYPERELLIPTIQUES D'ORDRE n.

Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. IC (1884), pp. 889-892, 951-953, 1050-1053.

1. La recherche des relations algébriques entre les fonctions hyperelliptiques d'ordre n, où entrent les fonctions thêta à n arguments, peut être considérée comme la base, le point de départ de la théorie de ces fonctions comme l'ont démontré ROSENHAIN, GÖPEL et HERMITE dans leurs travaux.

M. WEIERSTRASS, dans son Mémoire: Zur Theorie der ABEL'schen Functionen *) a signalé quatre relations quadratiques très importantes entre ces fonctions, auxquelles j'en ai ajouté deux, dans un Mémoire publié dans les « Annali di Matematica » de l'année 1858 **). Ces résultats sont, encore aujourd'hui, ce qui existe de plus général sur le sujet, et c'est peut-être au manque de leur connaissance que sont dues les tentatives entreprises dans d'autres voies. Ce qui reste à faire, c'est de tirer des nombreuses conséquences de ces formules celles qui conduisent plus directement à la résolution du problème, et c'est le but que je me suis proposé dans ces Communications à l'Académie.

Soient a, a,,..., α2, 2 n + 1 quantités réelles, et

2n

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*) [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. LII (1856), pp. 285-380].

**) [XLIII: t. I, pp. 285-299].

I,

f(x), f2(x), , f(x) étant des polynômes de degrés non supérieurs à n—1, les fonctions

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I.

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2N+I

fonctions hyperelliptiques de l'ordre n dont le nombre est 4" Dans ce qui va suivre, j'indiquerai les 2n+1 quantités a, a,, ..., a2+1 de cette manière: pour n d'entre elles, par ar,, ar,,..., ar,; pour n autres, par Am, Am2,..., am,,; pour les deux dernières, par a,, a,. Enfin je pose:

I 2

2

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2. Je vais signaler, avant tout, quelques relations algébriques qu'on peut nommer générales, parce qu'elles restent les mêmes, quelle que soit la valeur de n. En indiquant par (st) l'expression a, a,, ces relations sont les suivantes:

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ainsi de suite. Je dois rappeler, pour le moment, quatre équations entre les six relations quadratiques mentionnées ci-dessus; mais, pour les simplifier dans la forme, je pose

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dans lesquelles les S, T, U s'écrivent S, T, U,; S, T, U,

pour mm1,

m2, .... Par l'introduction de ces dénominations, on peut donner aux quatre relations quadratiques la forme très simple qui suit:

29

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k(a) g(a)

k(a,) g (a)

Le carré de la fonction p1, est, par cette formule,

st

exprimé en fonction linéaire des carrés des fonctions Prs, Prt correspondant à r=r

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2

. Mais, au moyen des deux valeurs de pa, on déduit les relations suivantes:

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et, en permutant s, t:

(st)
(a1)

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8 (a)ps,

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x,, y', pour r=r1, r2, ..., r,, ce premier résultat: Les carrés des deux fonctions à un seul indice p., P, et les carrés des 2n-1 fonctions à deux indices Pst Pms" m1_1) peuvent s'exprimer en fonctions linéaires des carrés de

Pmt (m

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M 29

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I

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I

29

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3. Avant de rechercher si d'autres fonctions hyperelliptiques existent qui jouissent de la propriété établie dans ce qui précède, je vais démontrer que les 2n fonctions X1, X29 , y sont liées entre elles par n 1 relations biquadra, ng Yi, Y2, tiques homogènes. On arrive tout de suite à ces équations au moyen des relations précédentes. En effet, en multipliant entre elles la première des relations (4) et la première des relations (5), on a, à cause de la seconde des équations (2):

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laquelle, en se rappelant la valeur (3) de p, est évidemment une équation biquadratique homogène entre x,, x,, ..., Y19 Y 29 ....

(7)

De la même manière, les autres relations (4), (5), (6) conduisent à la suivante:

(st)2

2

8(a)g(a)+(st)p; [(tm) S _ (sm) T

a

sm) 5 ] + (sm) (tm) (S T — U3) = 0, g(a)

qui donne n 1 équations biquadratiques homogènes entre x,, x2, ..., Y、, Y 29 ...

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Mais, en divisant les termes de cette dernière équation par (sm) (tm) k' (a„) et en additionnant celles qui en dérivent en posant m = m ̧, m2, en ayant égard à la valeur (3) de pat, l'équation précédente (6); on a donc ce second résultat Les 2n fonctions x,, x,,..., X.; Y1, Y2,..., Y, sont liées entre elles par Yn n - 1 équations biquadratiques homogènes.

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4. Cela posé, je reviens aux relations générales (1). Si dans la première on suppose μ r, on a:

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Or, le second membre de cette équation n'étant pas, en général, divisible par p2, on a ce résultat: Les carrés des fonctions à un indice pr., Pr2,..., Pr1 s'expriment

n

I

en fonction de x1, x2,..., Y1, Y2" .. par des fonctions dont les numérateurs sont des fonctions biquadratiques homogènes, et le dénominateur commun est une fonction linéaire des carrés de ces fonctions.

De même, si l'on pose dans la relation indiquée μm, on arrive à l'équation

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4

p+t
st

2 st

− (st)2 g (a) g (a) [(sm)+(tm)]+(st) p;, H+(sm) (tm)B,

H= {[P + (sm) S] − (sm) [ Q + (tm) T],

En opérant de la

(tm) 8 (a)

g(a1)

[Q+(tm)

B = QS+ PT — 2 RU.

même manière sur la seconde des relations (1), on arrive à

ces formules: pour μ r, v = m,

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sm (tm)
(a)

m)2 m
p2
(st)2 p = − (sm)(tm)
g(a)g' (a)

يورة

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En conclusion: les seuls carrés des fonctions hyperelliptiques P., P., Pst Pms Pmt peuvent s'exprimer par des fonctions linéaires de x, x2,

,

y1, y2,

tandis que

les carrés des autres 2n I fonctions à un seul indice et les carrés des autres (n − 1)(2n − 1) fonctions à deux indices, multipliés par p, sont des fonctions biquadratiques homogènes de x,, x,,..., Y1, Y2,

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