et

A11

I, I

= aa1+bb, + cc, + dd, + ee, +ƒƒ, +gg, + bb, = + A2,2 = ···,

Ą112 = ba ̧ — ab ̧ + dc, — cd, + fe, — ef, + hg, — gh1 = — A2,1

A1,2

A11 = ca ̧ — db ̧ — ac, + bd, +ge, — hƒ, — eg, +ƒh1 = + A2,4

1,3

A111 = da, + cb, bc, — ad, + he, + gf, - fg, — eh, — — A2,3

А 1,4

A1 = ea, + fb, +8c, + hd, + ae, + bf, + cg, + dh1 = + A2,6 =

1,5

A1 = fa ̧ — eb ̧ + hc, — gd, + be, - af,+ dg, - ch1 = — A2,5

1,6

I

▲1 = ga ̧ — hb ̧ — ec, + fd, + ce, — df, — ag, + bh1 = + A2,8

A

1,7

A1,8 ha, + gb, — fc, — ed, + de, + cf, — bg, — ah, —— A2,7

I

CCLXXIII.

SUR UNE PROPRIÉTÉ D'UN PRODUIT DE FACTEURS LINÉAIRES.

The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. IX (1854), PP. 137-144.

Un mémoire de M. CAYLEY *) m'a suggéré une remarquable propriété pour le produit d'un nombre déterminé de facteurs linéaires.

En considérant deux éléments x, y, on voit tout de suite, que les seuls résultats essentiellement différents qu'on obtient en les ajoutant l'un à l'autre sont donnés par les expressions

Or, si l'on suppose

x + y,

x+y=0,

et on multiplie les termes de la première par 1 et par xy, on obtient en observant les deux autres équations:

et on fait sur elle des opérations analogues aux supérieures, on a:

*) CAYLEY, On the rationalization of certain algebraical equations [The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. VIII (1853), pp. 97-101].

BRIOSCHI, tomo V.

66

J'observe que l'équation Ao a son origine dans la x+y=o, par conséquent A sera divisible par x+y; et analoguement v sera divisible par x-y, et l'on aura: (x + y) (x − y) = A.

Si l'on considère trois éléments x, y, z, on aura quatre expressions différentes

on obtiendra en multipliant les termes de chacune par I, yz, zx, xy:

7, 15

,

29 3

r r, désignant les rayons des cercles inscrits et exinscrits aux triangle. Observons qu'on a évidemment:

Pour quatre éléments le nombre des expressions différentes étant huit, on aura les

et ▲ sera égal au produit des premiers membres des équations supérieures.

Si x, y, z, t désignent les aires des quatre faces d'un tétraèdre, V le volume, et r, r1,..., r, les rayons des sphères inscrites et ex-inscrites, on aura:

7

et A représente la norme de +x+y±z±t. [Voir un mémoire de M. SYLVESTER *)]. On a aussi :

*) SYLVESTER, On the relation between the volume of a tetrahedron and the product of the sixteen algebraical values of its superficies [The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. VIII (1853), pp. 171-178].

le produit des facteurs linéaires qu'on déduit de X, en changeant les signes à m des ....., x„; on aura pour ʼn impair :

éléments x,, X29

(1)

X.|X.(1)||X,(1, 2) ....... |X. (1, 2, 3, ..., " — ') =

et pour n pair:

2

dénote que dans ce produit l'élément x, entre toujours parmi les éléments auxquels on a changé de signe. Le déterminant ▲ résultera de la multiplication successive de l'équation Xo par l'unité, et par chacune des combinaisons deux à deux, quatre à quatre, etc. X: (n − 1) à (n − 1) si n est impair, nàn si n est pair, des éléments x,, x2, ..., X„. Il est évident que le nombre des facteurs linéaires du produit (1) sera

n(n − 1) ... (n − 3)

2

et que le nombre des équations qui découlent de l'équation X, impair, soit pour ʼn pair,

n

=o sera, soit pour n

Il importe d'observer que, en supposant que les éléments x,, x,, soient des radicaux quadratiques, le produit A des fonctions linéaires de ces radicaux est rationnel.