et, en conséquence, on a ce premier théorème: Les dérivées partielles secondes de trois fonctions hyperelliptiques y, z, w, peuvent s'exprimer par des polynômes du troisième degré des mêmes fonctions.

On a, en second lieu :

(a。z, w,) = p[(Y — 21)zw — ky],

(b。w,y,) = p[(Z — 2m)wy — kz],

(c)', Z1) = p[(W — 2n)yz — kw];

I

de ces relations et des précédentes on peut déduire les expressions de

(c。y2) = p[Z + (W — 2 n)y2],
(a。z?) = p[W+(Y — 21)z2],

Enfin on trouve que (boy?) = p[W+(Z — 2m) y2], (c。z?) = p[Y + (W — 2n)z3], (a ̧ w2) = p[Z + (Y − 2 l) w2], et l'on a ce second théorème: Les carrés et les produits deux à deux des dérivées partielles premières de trois fonctions hyperelliptiques y, z, w s'expriment par des polynômes du quatrième degré des mêmes fonctions.

(b ̧ w2) = p[Y + (Z — 2m) w2],

Ainsi les dérivées partielles d'ordre 2 n sont exprimables par des polynômes de degré 2n + 1.

Ces formules, par leur simplicité, peuvent conduire à des conséquences nouvelles, soit dans la théorie des fonctions hyperelliptiques, soit dans celle des équations différentielles. Je me borne, pour le moment, à signaler la suivante. Les formules précédentes donnent

w(a ̧y‚ñ‚) — z(a。y,z,) = 0,

w(b。y,z) — z(b。y, w1) = p[k (z2 + y2 w2)+2 m y zw],

I

w (c。y, z1) — z (c。y, w1) — — ẹ [k (w2 + y2z2) + 2 n y zw].

I

I

=

Si dans ces équations on pose wt, on obtient:

(a ̧ y, t) = o,

(boy,t) = p[k(y2 + t2) + 2 m y t],

(c。y1t,) == p[k(1 + y2ť2) + 2 nyt],

où les y1t,, y, t2+ y2t, y2 t2 sont exprimées par des polynômes en y,

2 I

2

t.

P, Q étant des polynômes du quatrième degré en y, t. C'est la forme des équations différentielles comme elles se sont présentées à GÖPEL.

2. En indiquant par a., B., ... les déterminants mineurs du déterminant

on peut déduire des vingt-sept formules données les valeurs des expressions de la forme

analogues pour les vingt-quatre autres expressions. Les deux premières conduisent à la suivante

ce qui démontre l'existence, pour les trois fonctions hyperelliptiques y, z, w, d'une propriété caractéristique des fonctions elliptiques.

On a encore

Z(Y2 Z11) — (Y2 Z?) = w(ß,w,,) — (P2w2) = p k (y2 — z2 w2),
Z11)

2

II

ou, en d'autres termes, la propriété indiquée pour les fonctions y, z, w subsiste pour

CCII.

LES DISCRIMINANTS DES RÉSOLVANTES DE GALOIS.

Comptes Rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CVIII (1889), pp. 878-879.

On peut donner, comme il est connu, aux trois résolvantes de GALOIS la forme

A, B, C, D étant des polynômes en x, et p un coefficient numérique égal au degré de la résolvante.

Les valeurs de A, B, C, D sont, pour n = 5: