FAUTES A CORRIGER. Nota. I est essentiel de corriger d'avance les indications des Figures. tions de fig. DEF Corrections. au segment AD. si les surfaces. et lui être circonscrit. les bases seront parallèles. les conséquens par 2. Fig. 115. 1°. Fig. 115. 2°. nm:: RM: R'M :: et par A' l'art BCb. des côtes du triangle ABC. deux demi-cercles concentriques ABC, DEF. Fig. 171. 10. Fig. 171.2°. 167 8 en remontant au point de tangence M desjau point de tangence des cercles. N"MMN". tions de fig. (Theor. XXXXVIII XXXXIV). 193 14 en remontant Y'A'X.. 203 213 227 229 dernière 7 cercles... N'NMM". Fig. 194.10. Fig. 194. 2°. et(Théorèmes XXXXIII et XXXXIV). Ha face illimitée prolongée... -3 AB 298 toen remontanta.. 313 3 en remontani quelconque ABC, dernière la corde AC.. 320 321 5 en remontant de BC (fig. 151).... Y'A'Z'. PP. la face illimitée, prolongée. -3 3 BI-. AB B'C'étaient. a2=. quelconque ABC, la corde AC'. de BC (fig. 252). RÉCIPROQUES DE LA GÉOMÉTRIE. LIVRE PREMIER. PROPOSITION PREMIÈRE. THEOREM Réciproque. Si quatre droites OA, OC, OB, OD, qui Fig. 1. aboutissent à un méme point O, sont disposées de manière que les angles opposés au sommet (*) soient égaux, ces quatre lignes formeront deux droites. (*) Par angles opposés au sommet, il faut entendre ici deux angles qui, ayant même sommet, n'ont pas de côté commun. Soit l'angle AOC BOD, et l'angle AOD BOC: on aura AOC AOD BOD + BOC; mais la somme des quatre angles formés autour du point 0, est égale à quatre angles droits; donc BOD + BOC vaut deux droits; donc CD est une ligne droite. La somme........ AOC AOD ou son égale BOD + AOD vaut aussi deux droits; donc aussi BA est une ligne droite. Donc, etc. Corollaire. Si la ligne AOB est droite, et si l'angle AOC BOD, la ligne COD sera pareillement droite. PROPOSITION II. Théorème. Si d'un point pris dans l'intérieur d'un triangle, on mène des droites aux extrémités d'un même côté, la somme de ces droites sera moindre que celle des côtés enveloppans. (Géom. Proposit. IX.) Réciproque. Si la somme des droites qui joignent un point pris dans le plan d'un triangle, avec les extrémités d'un côté, est moindre que celle des deux autres côtés ou des côtés enFig. 2. veloppans, ce point est intérieur au triangle. Cette réciproque n'est pas vraie. En effet, soit O un point intérieur; en menant BO et CO, on a BO+CO<BA+AC; . faisons les angles BCO' OBC, O'BC BCO : les triangles BOC et BO'C seront égaux; donc BO'+CO'BO+CO, et par conséquent BO'+O'C <BA+AC. Donc, etc. PROPOSITION III. Théorème. Si deux triangles sont tels, que deux côtés du premier soient égaux à deux côtés du second, et qu'en même temps l'angle compris par les premiers, soit plus grand que l'angle compris par les seconds, le troisième côté du premier triangle est plus grand que le troisième côté du second. (Géom. Prop. X.) Réciproque. Si deux triangles sont tels, que deux côtés du premier soient égaux à deux côtés du second, et qu'en même temps le troisième côté du premier soit plus grand que le troisième côté du second, l'angle opposé à ce côté dans le premier triangle, sera plus grand que l'angle opposé à ce même côté dans le second triangle. En effet, soient ABDE, BC=EF, AC>DF, je dis que Fig. 3. l'angle B est plus grand que l'angle E. Car, si l'angle B était égal à l'angle E, les triangles ABC, DEF seraient égaux, et par conséquent AC serait égal à DF, ce qui est contre l'hypothèse. Si l'angle B était plus petit que l'angle E, AC serait plus petit que DF, en vertu de la directe, ce qui est encore contre l'hypothèse; donc l'angle B est plus grand que l'angle E. Donc, etc. PROPOSITION IV. Théorème. La ligne menée du sommet d'un triangle isoscèle au milieu de sa buse, est perpendiculaire à cette base, et divise l'angle du sommet en deux parties égales. (Géom. Prop. XII, Schol.) Réciproque. Si une ligne est perpendiculaire sur l'un des côtés d'un triangle, et qu'elle divise l'angle opposé en deux parties égales, elle passera par le milieu de la base, et le triangle sera isoscèle. Soit AD cette perpendiculaire: d'après les conditions énon- Fig. 4. cées, BDA ADC, BAD DAC; donc les deux triangles BAD, DAC sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun; donc DC DB et PROPOSITION V. Théorème. Si d'un point situé hors d'une droite, on mène une perpendiculaire sur cette droite et différentes obliques à différens Fig. 5. Fig. 5. points de cette même droite, la perpendiculaire sera plus courte que toute oblique. (Géom. Prop. XVI, Théor. 1o.) Réciproque. La plus courte des lignes que l'on puisse mener à une droite, d'un point situé hors de cette droite, est la perpendiculaire à cette droite. Soit AB la plus courte des lignes que l'on puisse mener du point A à la droite DE. Si AB n'était pas une perpendiculaire à DE, on pourrait en abaisser une telle que AC. On aurait, en vertu de la directe!, AC< AB, ce qui est contre l'hypothèse; donc AB est perpendiculaire à DE. Donc, etc. PROPOSITION VI. 1 Théorème. Deux obliques qui s'écartent également de la perpendiculaire, sont égales. (Ibid. Théor. 2°.) Réciproque. Deux obliques égales s'écartent également de la perpendiculaire. Soient ACAF et AB perpendiculaire à DE, je dis que CB BF. La ligne par rapport à laquelle les écartemens BC, BF seront égaux, doit diviser également l'angle, CAF. Si la perpendiculaire AB ne divise pas l'angle CAF en deux parties égales, soit AK la ligne qui opère cette division. Les anglès AKC, AKF seraient égaux; donc la ligne AK serait perpendiculaire à DE. Donc ce ne peut être que par rapport à la perpendiculaire que les écartemens CB, CF seront égaux. Donc, etc. Corollaire. De là il suit que deux triangles rectangles qui ont l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal, sont égaux. Car on pourra toujours les concevoir disposés comme le sont les triangles ABC, ABF. PROPOSITION VII. Théorème. De deux obliques qui s'écartent inégalement de la perpendiculaire, celle qui s'en écarte le plus sera la plus longue. (Ibid. Théor. 3o.) |