Réciproque. De deux obliques inégales, la plus longue s'écarte le plus de la perpendiculaire.

Soient AB perpendiculaire à DE, et AG>AF je dis que Fig. 5. l'on a BG > BF. Car si l'on pouvait avoir BGBF, on aurait AG=AF, ce qui est contre l'hypothèse. Si l'on avait BG<BF, on conclurait AG<AF, ce qui est encore contre l'hypothèse; donc BG > BF.Donc, etc.

PROPOSITION VIII.

Théorème. Une droite perpendiculaire sur le milieu d'une autre, a tous ses points à égales distances des deux extrémités de celle-ci. (Géom. Proposit. XVII, 1°.).

Réciproque. Si une droite a deux de ses points également distans des deux extrémités d'une autre droite, elle est perpendiculaire sur le milieu de celle-ci.

Car cette droite a deux de ses points communs avec la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une ligne. Donc, etc.

PROPOSITION IX.

Théorème. Tout point situé hors de la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite, est inégalement distant des deux extrémités de cette droite. ( Ibid. 2°.)

Réciproque. Si un point est inegalement distant des deux extrémités d'une droite, il est situé hors de la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite.

Car, s'il était sur cette perpendiculaire, il serait également distant des deux extrémités de la droite. Donc, etc.

PROPOSITION X.

Théorème. Deux triangles rectangles sont égaux, lorsqu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun. (Géom. Prop. XVIII.) Réciproque. Si deux triangles sont égaux, comme ayant deux côtés égaux chacun à chacun, ils sont rectangles.

Fig. 6.

Fig. 7.

Car s'ils ne l'étaient pas, il s'ensuivrait que deux triangles obliquangles ayant deux côtés égaux chacun à chacun, seraient égaux, et on sait que, pour ces triangles, on n'a pas ce caractère d'égalité. Donc, etc.

PROPOSITION XL

Théorème. Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux. (Géom. Prop. XX, Cor. V.)

Réciproque. Si dans un triangle les trois angles sont égaux, ce triangle est équilatéral.

En effet, puisque CA, on a AB=BC (Géom. Proposit. XIII); de même, à cause de BC, on a AC=AB; donc AB BC=AC. Donc, etc.

PROPOSITION XII.

Théorème. L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux intérieurs opposés. (Géom. Prop. XX, Cor. VI.)

Réciproque. Si un angle situé hors d'un triangle, a pour côté l'un de ceux du triangle, et s'il vaut la somme des deux angles intérieurs, l'un adjacent, l'autre opposé à ce côté, il aura pour second côté le prolongement du côté adjacent à l'un des angles et opposé à l'autre, c'est-à-dire qu'il sera extérieur au triangle.

Car, la somme ACB +B+A étant égale à deux angles droits, il en est de même de la somme BCD + BCA; donc la ligne ACD est droite. Donc, etc.

PROPOSITION XHI.

Théorème. Deux parallèles sont partout également distantes. (Géom. Prop. XXVII.)

Réciproque. Si deux lignes sont partout également distantes, elles sont parallèles.

:

Car, soient AB, CD deux lignes partout également distantes, c'est-à-dire, soit PQ-RS, PQ et RS étant deux Fig. 8. perpendiculaires abaissées de deux points quelconques Pet R de AB sur CD: menons la ligne QR; les triangles PQR, QRS sont égaux; donc l'angle PRQ=RQS; donc les droites. AB, CD sont parallèles. Donc, etc..

PROPOSITION XIV.

Théorème. Les côtés et les angles opposés d'un parallélogramme, sont égaux. (Géom. Prop. XXIX, Théor.) Réciproque. Si, dans un quadrilatère, les côtés et les angles opposés sont égaux, cette figure est un parallelogramme.

1° Les côtés opposés étant égaux, les deux triangles CDB, BDA sont égaux; donc les angles CBD et BDA sont égaux, et BC est parallèle à DA; on démontrerait de même que AB et DC sont parallèles.

2° Soit ABCD un quadrilatère dans lequel on ait l'angle A=C, et l'angle B=D; on aurą conséquemment A+B÷C+D. Fig. 9. La somme des angles intérieurs d'un quadrilatère étant égale à quatre droits, la somme A+B est égale à deux angles droits; donc les lignes BC, AD sont parallèles. On a aussi...... A+D=B+C; donc les lignes AB, DC sont parallèles; donc ABCD est un parallélogramme. Donc, etc.

PROPOSITION X V.

Théorème. Dans tout parallelogramme, les deux diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales. (Géom. Prop. XXXII, Théor.)

Réciproque. Si dans un quadrilatère les diagonales se coupent mutuellement en parties égales, cette figure est un parallelogramme.

Soit ABCD un quadrilatère dont les diagonales AC, BD Fig. 9. se coupent de manière qu'on ait AO OC, BO OD: les

triangles égaux AOD, BOC donnent AD BC. Pareillement ABCD); donc la figure ABCD est un parallelogramme. Donc, etc.

Fig. 10.

PROPOSITION XV I.

Théorème. Dans tout losange, les diagonales se coupent mutuellement en parties égales et à angles droits. (Géom. Prop. XXXII, Schol.)

Réciproque. Si les deux diagonales AC, BD d'un quadrilatère ABCD se coupent mutuellement en parties égales et à angles droits, ce quadrilatère sera un losange.

Par la première condition de l'énoncé, la figure ABCD est un parallelogramme : or, en vertu de la seconde, les triangles AOB, BOC sont égaux et donnent AB=BC; donc AB BC= CDAD. Donc, etc.

Remarques.

Les Propositions I, VIII, XV, IX, XX, XXI, XXII, XXVIII n'admettent pas de réciproques. La réciproque du Coroll. IV, Prop. XX, est évidente.

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LIVRE SECOND.

PROPOSITION PREMIÈRE.:

.T.

THEORÈME. Tout diamètre divise le cercle et sa circonférence en deux parties égales. (Géom. Liv. II, Prop. I.)

Réciproque. Si une circonférence est divisée en deux parties égales, la droite qui opère cette division est un diamètre. Soit AMBN une circonférence divisée aux points A et B Fig. 11. en deux parties égales: si le centre, n'est pas sur la ligne AB, menons le diamètre AQ: en vertu de la directe, AMQ serait une demi-circonférence; donc la partie AMQ serait égale au tout AMB, ce qui est absurde; donc AB est un diamètre. Donc, etc.

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PROPOSITION II“.

Théorème. Toute corde est plus petite que le diamètre, (Géom. Prop. II.) ·

Réciproque. Le diamètre est la plus grande de toutes les

cordes.

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.:

Car, soit AB la plus grande de toutes les cordes centre O était hors de cette droite, par exemple, sur AQ, Fig. 11. le diamètre AQ serait plus grand que la corde AB. Donc, etc.

Théorème. Le rayon perpendiculaire à une corde, divise