Fig. 92.

Problème XIV. Dans un triangle équilatéral, inscrire un hexagone régulier. Théorème XIV. Si les trois côtés d'un triangle ou leurs prolongemens sont coupés par une transversale quelconque indéfinie, il y aura sur la direction de chacun des côtés du triangle, deux segmens formés par la transversale, et tels, que le produit de trois d'entre eux, n'ayant aucune extrémité commune, est égal au produit des trois

Théorème XV,
Fig. 93.

Problème XV.
Fig. 94, 95.

Problème XVI.
Fig. 96, 97, 98,

99.

Problème XVII.
Fig. 100.

autres.

Si par un point quelconque pris dans le plan d'un triangle, on mène sur chacun des côtés une transversale qui passe par l'angle opposé, on obtiendra sur chacun de ces côtés, deux segmens tels, que le produit de trois d'entre eux, n'ayant aucune extrémité commune, sera égal au produit des trois autres.

*Remarque et Corollaires I et II.

Division des Triangles.

Diviser un triangle en deux parties qui soient entre elles dans
un rapport donné, 1o par une ligne partant du sommet;
20 par une ligne parallèle à l'un des côtés.
Partager un triangle en trois parties équivalentes, 1o par
des droites qui partent d'un point donné sur un des
côtés; 2° par des droites qui partent d'un point donné
dans l'intérieur du triangle.

Etant donné un triangle ABC, trouver dans sa surface
un point F tel, que les lignes tirées de ce point aux
trois angles, partagent le triangle en trois parties équi-
valentes.

Problème XVIII. Partager un triangle en deux parties proportionnelles par une

Fig. 101.

Problème XIX.
Fig. 102.

ligne EF perpendiculaire à la base.

Partager un triangle par une droite minimum en deux parties qui soient entre elles dans un rapport donné. On propose de diviser un triangle scalène en quatre surfaces équivalentes par deux lignes perpendiculaires entre elles.

Sur les Figures à quatre côtés.

Théorème XVI. Si l'on joint deux à deux les milieux des côtés d'un quaFig. 103. drilatère quelconque, la figure résultante sera un parallélogrammfe.

Théorème XVII. Soit EFGH un quarré inscrit; inscrivons dans ce quarré le quarré IKLM, dans ce dernier le quarré PQRS, et

Fig. 104.

Problème XX.
Fig. 105.
Theor. XVIII.
Fig. 106.

Problème XXI.
Fig. 107, 108.

ainsi de suite : la limite de la somme de tous ces, quarrés est le quarré circonscrit ABCD.

Etant donnée la différence AG entre la diagonale et le côté d'un quarré, construire ce quarré.

Soit un quadrilatère ABCD: si on prolonge les côtés AB, DC; AD, BC jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en F et G, on aura un autre quadrilatère ABFCGDA, ayant les trois diagonales AC, BD, FG qui se coupent deux à deux, savoir, BD, AC en l, BD, FG en k, AC, FG en h; et chacune de ces diagonales est coupée par les deux autres en segmens proportionnels.

Corollaires I et 11,

Etant données quatre droites, telles que la somme de trois d'entre elles, soit plus grande que la quatrième, construire un quadrilatère inscrit dont ces droites soient les côtés, sons la restriction que deux d'entre elles soient assignées. comme côtés opposés.

Théorème XIX. L'aire d'un quadrilatère est égale à la moitié du produit de Fig. 109. la somme de ses deux diagonales, par le sinus de l'angle qu'elles comprennent.

On propose, 1o de démontrer que si deux quadrilatères ont deux diagonales égales, et faisant entre elles le même angle, quelle que soit la manière dont elles se coupent, ces quadrilatères seront équivalens; 2o de circonscrire à un quadrilatère donné un autre quadrilatère, de manière que les côtés du premier, adjacens à un côté du second, lui soient également inclinés.

Division des Quadrilatères.

Problème XXII. Diviser un quadrilatère en deux parties qui soient entre Fig. 110, 111. elles dans un rapport donné, de manière que la ligne de division soit parallèle à un des côtés du quadrilatère.

Problème XXIII. Diviser un quadrilatère en deux parties dans le rapport de màn par une droite perpendiculaire à l'un de ses

Fig. 112.

Problème XXIV.
Fig. 113.

Problème XXV.
Fig. 113.

côtés.

Partager le quadrilatère ABCD par une ligne DE partant
du sommet de l'angle D, de telle sorte que les deux parties.
ACDE, EDB soient dans le rapport de m à n.
Partager le quadrilatère ACDB en deux parties qui soient

dans le rapport de mà n, et de manière que la ligne
de division parte du point M donné sur le côté AB.

Problème XXVI. Diviser un quadrilatère en trois surfaces équivalentes par des

lignes tirées de l'un des angles.

des

Fig. 114. Probl. XXVII. Diviser un quadrilatère en trois surfaces équivalentes par lignes menées d'un point E pris sur l'un des côtés. Des sommets de deux angles opposés d'un quadrilatère,

Fig. 115, 10. Probl. XXVIII. Fig. 115, 2°.

Théorème XX.
Fig. 116,

Fig. 117.

- mener deux lignes qui se rencontrent, et de leur intersection une autre ligne, ensorte que les trois surfaces résultantes soient équivalentes.

Du Cercle.

Si on fait tourner le système des deux tangentes Tt, Tť dans le plan du cercle mtt', de manière qu'elles soient toujours touchées en t et t' par le cercle tmt', le point T de concours décrira le cercle concentrique TNT.

Problème XXIX. Mener par un point pris dans un cercle une corde égale à une ligne donnée plus petite que le diamètre de ce cercle, Problème XXX. Deux cercles étant donnés de grandeur et de position, Fig. 118. les couper par une droite, de manière que les parties interceptées soient égales à une ligne donnée, cette ligne n'étant pas plus grande que le diamètre du plus petit cercle, ou de manière que ces parties soient dans un rapport donné.

Fig. 119.

Problème XXXI. Si l'on suppose qu'une ligne MT tourne de manière qu'elle soit toujours touchée dans le même point M par la circonférence AMB, trouver la courbe que décrit dans ce mouvement, un point N donné sur la tangente.

Probl. XXXII.
Fig. 120.

Trouver sur le cercle un point de tangence M, tel, que les

parties MP, MR' comprises entre ce point et deux axes perpendiculaires qui se coupent au centre, soient entre elles dans le rapport donné de nà m.

Probl. XXXIII. Trouver l'expression de la surface comprise entre deux circonférences concentriques.

Fig. 121.

Probl. XXXIV. Le diamètre AB d'un demi-cercle AMB étant divisé en deux

Fig. 122.

Probl. XXXV.
Fig. 123.

parties quelconques AD, DB; sur ces parties comme diamètres, soient décrits deux demi - cercles AND, DLB; on demande un cercle équivalent à la surface ANDLBMA.

Etant donné un cercle, trouver quatre autres cercles dont la somme des surfaces soit égale à celle du cercle donné, et dont les rayons soient entre eux comme les lignes données a, b,

C d.

Prob. XXXVI.
Fig. 124.

Probl. XXXVII.

Fig. 124.

Diviser la circonférence d'un cercle en quatre parties égales, en ne faisant usage que du compas.

Remarques.

Diviser une circonférence en huit parties égales, en ne faisant usage que du compas.

Probl. XXXVIII. Diviser une circonférence en douze parties égales, en ne

Fig. 124.

Problème XXXIX.
Fig. 125, 126.
Problème XXXX.
Fig. 127.

Problème XXXXI.
Fig. 128, 129, 130.

Probl. XXXXII.
Probl. XXXXIII.

faisant usage que du compas.

Trouver les racines quarrées de tous les nombres entiers, en ne faisant usage que du compas.

Dans un cercle d'un rayon donné, trouver, en ne faisant usage que du compas, une corde qui diffère peu du quart de la circonférence rectifiée.

Remarque.

Etant donnés trois points non en ligne droite, déterminer tous les triangles équilatéraux dont les côtés passent par ces points; assigner le plus grand et le plus petit.

Des aires du Cercle, du Secteur et du Segment.

Trouver l'aire d'un cercle dont on connaît le rayon. Déterminer l'aire d'un secteur dont l'arc est de n grades et dont le rayon = r.

Probl. XXXXIV. Calculer l'aire du segment dont l'arc est de n grades, et

Probl. XXXXV.
Fig. 131,

Probl. XXXXVI.

Fig. 132.

Fig. 133.

dont le rayon

r

Des contacts des Cercles.

Etant donné un cercle, on propose de lui mener une tangente sous un angle donné avec une ligne donnée. Décrire un cercle tangent au point O d'une ligne donnée, et qui passe par un point M donné.

Probl. XXXXVII. On donne le rayon d'un cercle et on propose de trouver la position de son centre, sous la condition que le cercle touche les deux droites données et non parallèles AB, AC.

Prob. XXXXVIII.

Fig. 134, 135.
Probl. XXXXIX.
Fig. 136.
Problème L.
Fig. 137.

Mener une tangente commune à deux cercles dont les

centres et les rayons sont donnés. Autre solution. Décrire un cercle d'un rayon donné qui passe par un point donné et qui touche une droite donnée. Décrire un cercle qui passe par deux points donnés et qui touche une droite donnée.

On

propose de trouver sur une droite donnée le lieu du

Problème LVII.

Fig. 147, 1 et 2o.
Problème LVIII.
Fig. 148, 149, 150,
151.

Problème LIX.
Fig. 152.

sommet du plus grand angle dont les côtés passent par deux points donnés. Décrire nn cercle qui passe par un point donné, et qui soit tangent à deux droites données. Autre solution.

Si quatre cercles touchent chacun extérieurement ou intérieurement trois côtés d'un quadrilatère quelconque, les centres de ces cercles seront sur une même circonférence.

Remarque.

On propose de démontrer que si les côtés d'un quadri-
tère circonscrit touchent une circonférence aux som-
mets des angles d'nn quadrilatère inscrit, leurs diago-
nales se couperont toutes au même point.
1°. Si l'on mène une tangente RIT' aux deux cercles
qui ont pour centres C et C', tangente qui rencontrera
en R la ligne des centres CC, et que par les points
de tangence t et t' du cercle C" avec les cercles C
et C', on mène une droite tt', cette droite ira passer
par le point R dans toutes les positions du cercle tan-
gent C". 2°. Si par le point R on mène les sécantes
Rm'm, Rn'n, les quatre points m', m, n, 'n' seront sur
une même circonférence.

Inscrire dans un cercle donné trois cercles qui le touchent
et qui se touchent entre eux. Autre solution par le
compas seulement.

Du centre A décrire un cercle qui touchè les trois cercles inscrits par la construction précédente et dont les centres sont P, Q, R.

Inscrire au moyen du compas, dans un cercle d'un rayon donné, quatre cercles qui lui soient tangens, et qui soient tangens entre eux.

Remarque.

Du centre A décrire un cercle qui touche les quatre qui résolvent le problème précédent.

Décrire un cercle tangent à trois droites données qui ne soient pas toutes parallèles.

"

Décrire un cercle tangent à deux droites données et à un cercle donné.

Décrire un cercle qui passe par un point donné et qui soit tangent à une droite et à un cercle donnés de position.

Décrire un cercle tangent à une droite et à deux cercles