PROPOSIT. IV. PROPOSIT. V. "Théorème. Réciproque. Théorème. Deux cordes égales sont également éloignées du centre (Géom., Prop. VIII, 1° ). Si deux cordes sont également éloignées du centre, elles sont égales. De deux cordes inégales, la plus petite est la plus éloignée du centre (Ibid., 2°). De deux cordes inégalement éloignées du centre, la plus éloignée est la plus petite. PROPOSIT. VI. La perpendiculaire menée à l'extrémité du rayon, est tangente à la circonférence (Géom., Prop. IX, Théor. ). Toute tangente à la circonférence est perpendiculaire à l'extrémité du rayon mené au point de contact. Réciproque. PROPOSIT. VII. Deux parallèles interceptent sur la circonférence des arcs Théorème. Réciproque. PROPOS. VIII. Réciproque. PROPOSIT. IX. Réciproque. PROPOSIT. X. PROPOSIT. XI. Réciproque. Théorème. égaux ( Géom., Prop. X ). Si deux droites interceptent sur la circonférence des arcs égaux, elles sont parallèles. Si deux circonférences se coupent en deux points, la droite qui passe par leur centre est perpendiculaire à celle qui joint les points d'intersection, et la divise en deux parties égales (Géom., Prop. XI). La perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint les deux points d'intersection de deux circonférences, passe par leurs centres. Tout angle se mesure par l'arc compris entre ses côtés, et décrit de son sommet comme centre (Géom., Prop. XVII, coroll.) Si un angle a pour mesure l'arc compris entre ses côtés, son sommet est le centre de cet arc. 7 L'angle inserit a pour mesure la moitié de l'arc compris Si les angles opposés d'un quadrilatère, valent en LIVRE III. PROPOSIT. Ire. Les parallelogrammes qui ont des bases égales et deshauteurs égales, sont équivalens (Géom., Prop. I, Théor.). Réciproque. PROPOSIT. II. PROPOSIT. III. Réciproque. Si deux parallelogrammes sont équivalens, ils auront des bases et des hauteurs égales. Corollaire. Deux rectangles de même hauteur sont entre eux comme lenrs bases (Géom., Prop. III). Si deux rectangles sont entre eux comme leurs bases, ils ont même hauteur. Le quarré fait sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle, égal à la somme des quarrés faits sur les deux autres côtés (Géom., Prop. XI, Théor. ). Si dans un triangle, le quarré fait sur un des côtés, est égal à la somme des quarrés faits sur les deux autres côtés, l'angle opposé à ce côté est droit. PROPOSIT. IV. Le quarré fait sur la diagonale d'un quarré, est double de celui construit sur le côté (Géom., Prop. XI, Coroll. II). Théorème. Réciproque PROPOSIT. V. Réciproque. Si dans un quadrilatère, le quarré de la diagonale est double du quarré d'un des côtés, ce quadrilatère est un quarré. Cette réciproque n'a pas lieu. Mais il est ▼rai que şi dans un quadrilatère, le quarré de la diagonale est double du quarré d'un côté quelconque, ce quadrilatère est un quarré. Le quarré de l'hypotenuse est au quarré d'un des côtés de l'angle droit, comme l'hypotenuse est au segment adjacent à ce côté, et déterminé par une perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit (Géom., Prop. XI, Coroll. III). Si dans un triangle ABC, le quarré du plus grand côté AC est au quarré d'un autre côté AB, comme AC est au segment AD, adjacent à AB, et déterminé par la perpendiculaire BD, l'angle ABC est droit. PROPOSIT. VI. Les quarrés des deux côtés de l'angle droit d'un triangle Théorème. Réciproque. · PROPOSIT. VIL Théorème. rectangle, sont entre eux comme les segmens de l'hy- Si dans un triangle les quarrés des deux côtés sont 1 Réciproque. Si dans un triangle ABC, en abaissant la perpendiculaire AD d'une extrémité du côté AB sur le côté opposé BC, on a AB = AC2+ BC2— 2BC × CD; l'angle C est aigu. PROPOSIT. VIII. Dans un triangle quelconque ABC, si l'on mène du sommet au milieu de la base la ligne AE, on a Théorème. Réciproque. PROPOSIT. IX. Théorème. Réciproque. PROPOSIT. X. Réciproque. PROPOSIT. XI. Théorème. Réciproque. AB2 + AC2= 2AE2+ 2BE (Géom., Prop. XIV, Si dans un triangle quelconque ABC, la droite menée da 3 2 qu'on ait AB+ AC = 2AE + 2BE2, le point E est le milieu de BC. Dans tout parallelogramme, la somme des quarrés des côtés est égale à la somme des quarrés des diagonales (Géom., ibid., Corr.). Si dans un quadrilatère la somme des quarrés des côtés est égale à la somme des quarrés des diagonales, ce quadrilatère est un parallelogramme. La ligne qui divise un des angles d'un triangle en deux parties égales, divise le côté opposé en deux segmens proportionnels aux côtés adjacens (Géom., Prop. XVII). Si un côté d'un triangle est divisé en deux parties proportionnelles aux deux autres côtés, par une ligne menée du sommet de l'angle opposé, cette ligne divise cet angle en deux parties égales. Les lignes menées comme on voudra par le sommet d'un triangle, divisent la base de ce triangle et toute ligne qui lui est parallèle en parties proportionnelles (Géom., Prop. XXII, Théor.). Si du sommet d'un triangle quelconque AB, on mène à la base plusieurs droites qui coupent cette ligne et une autre transversale en parties proportionnelles, la transversale est parallèle à la base. PROPOSIT. XII. Si du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle, Théorème. Réciproque. on abaisse une perpendiculaire sur l'hypotenuse, les deux triangles partiels sont semblables entre eux et au triangle total (Géom., Prop. XXIII, Théor., 1o). Si la perpendiculaire abaissée du sommet d'un triangle sur la base, divise ce triangle en deux trian gles partiels PROPOS. XIII. Réciproque. Théorème. semblables entre eux et au triangle total, le triangle total est rectangle. Si du sommet d'un triangle rectangle, on abaisse une perpendiculaire sur l'hypotenuse, chaque côté de l'angle droit est moyen proportionnel entre l'hypoténuse et le segment adjacent (Géom., ibid., 2o). Si du sommet B d'un triangle, on abaisse une perpendiculaire sur sa base, et que chacun des côtés adjacens au sommet B, soit moyen proportionnel entre la base et le segment contigu au côté, le triangle sera rectangle en B. PROPOS. XIV. Si du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle, on abaisse une perpendiculaire sur l'hypoténuse, cette perpendiculaire est moyenne proportionnelle entre les deux segmens de l'hypotenuse (Géom., Prop. XXIII, Théor., 30). Réciproque. Si la perpendiculaire abaissée du sommet d'un triangle sur le côté opposé, est moyenne proportionnelle entre les deux segmens de cette base, l'angle d'où part la perpendiculaire est droit. PROPOSIT. XV. Deux triangles qui ont un angle égal, sont entre eux Théorème. Réciproque. comme les produits des côtés qui comprennent l'angle égal (Géom., Prop. XXIV, Théor.). Si deux triangles sont entre eux comme les rectangles de deux de leurs côtés contigus, les angles compris par ces côtés sont égaux.. PROPOSIT. XVI. Deux triangles semblables sont entre eux comme les quar Théorème. Réciproque. rés de leurs côtés homologues (Géom., Prop. XXV). Si deux triangles sont entre eux comme les quarrés de leurs côtés respectifs, ils sont semblables. PROPOS. XVII. Les contours des polygones semblables sont entre eux Théorème. Réciproque. comme les côtés homologues (Géom., Prop. XXVII, Théor.). Si les contours de deux polygones sont comme leurs côtés homologues, ces polygones sont semblables. PROPOS. XVIII. Les surfaces des polygones semblables sont entre elles Théorème. Réciproque. comme les quarrés des côtés homologues (Géom., Prop. XXVII, Théor., 2o).. Si les surfaces de deux polygonés sont entre elles comme les quarrés des côtés homologues, ces polygones seront semblables. PROPOSIT. XIX. Si sur les trois côtés d'un triangle rectangle, comme côtés homologues, on construit trois figures semblables, celle formée sur l'hypotenuse est équivalente à la Théorème Réciproque. somme des deux autres (Géom., Prop. XXVII, Coroll.). Si sur les trois côtés d'un triangle, on construit trois figures semblables, et si la figure formée sur le plus grand côté, est équivalente à la somme des deux autres, l'angle opposé à ce côté, est droit. PROPOSIT. XX. Les parties de deux cordes qui se coupent dans le cercle, sont réciproquement proportionnelles (Géom., Prop. XXVIII, Théor.). Théorème. Réciproque. Théorème. 'Si deux droites se coupent en parties réciproquement proportionnelles, leurs extrémités sont sur une même circonférence. PROPOSIT. XXI. Si d'un même point pris hors d'un cercle, on mène deux sécantes terminées à l'arc concave, les sécantes entières sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures (Géom., Prop. XXIX, Théor. ). Réciproque. Si deux droites partant d'un même point, sont divisées en parties qui leur soient réciproquement proportionnelles, les points de division et les extrémités de ces droites sont sur une même circonférence. PROPOS. XXII. Si d'un point pris hors d'un cercle, on mène une tan Théorème. Réciproque. gente et une sécante à ce cercle, le quarré de la tangente Si de deux droites AB, AC qui partent d'un même point gente à la circonférence qui passe par les trois points B, D, C. PROPOS. XXIII. Dans un triangle ABC, si l'on divise l'angle A en deux Théorème. parties égales par une ligne AD, le rectangle des côtés AB, AC est égal au rectangle des segmeus BD, DC, plus au quarré de la sécante AD (Géom., Prop. XXXI). Réciproque. Si dans un triangle ABC, on a AB x AC=BD x DC+AD, la ligue AD divisera l'angle BAC en deux parties égales. Remarques. LIVRE IV. PROPOSIT. Ire. Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle, et lui être circonscrit (Géom., Prop. II, Theor.). Théorème. |