Garnier donne une première solution par les suites récurrentes, comme article extrait sans indiquer la source. Une seconde solution, due à J. N. Noel, alors professeur de sciences physiques et mathématiques et Principal de l'Athénée de Luxembourg, n'emploie que les mathématiques élémentaires; nous allons la résumer.

Soient do, yo les quantités d'eau des deux vases dans l'état initial, et an, yn ces quantités après la ne opération. A la première opération on

pet q désignant deux constantes. Par des substitutions successives on

Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der Kegelschnitte von Gundelfinger. Herausgegeben von DingeldeY. Leipsig, Teubner, 1895. (VIII – 434 pages grand in-8°). Prix: 12 marcs.

SOMMAIRE. Section I. Préliminaires. Les propriétés fondamentales d'une conique. 1. Triangle de référence. Coordonnées ponctuelles ou tangentielles. 2. Relations métriques élémentaires entre des points et des droites. 3. Transformation des coordonnées. 4. Les courbes du second ordre. 5. Les courbes de la seconde classe. 6. Classification des coniques. 7. Le cercle, les points cycliques et leur relation avec l'angle de deux droites. 8. Sur un théorème fondamental de la théorie des formes quadratiques définies et sur deux espèces d'équations dont toutes les racines

sont réelles. 9. Invariants. 10. Axes principaux d'une conique. 11. Propriétés des coniques non dégénérées. 12. Génération des coniques au moyen de faisceaux projectifs ou de ponctuelles projectives. Théorèmes de Pascal et de Brianchon.

Section II. Faisceaux et réseaux ponctuels ou tangentiels de coniques. 13. Préliminaires. 14. Points communs et tangentes communes à deux coniques. 15. Propriétés générales des faisceaux ponctuels ou tangentiels de coniques. 16. Choix de triangles de référence appropriés aux différents cas spéciaux que présente un faisceau ponctuel. 17. Interprétation géométrique de quelques formes algébriques. 18. Coniques homofocales. 19. Nouvelles propriétés des foyers. Cercles bitangents, théorèmes sur les rayons vecteurs. 20. Sur quelques courbes qui ont des relations invariantes avec un faisceau de coniques. 21. Cercle de courbure et développée.

22. Hessienne d'un réseau ponctuel de coniques. 23. Cayleyenne d'un réseau. 24. Réseau tangentiel de coniques. 25. Réciprocité entre la hessienne et la cayleyenne. 26. Sur des systèmes linéaires conjugués de coniques.

Appendice. Compléments de la théorie et solutions de problèmes se rapportant aux §§ 1-21.- Formes binaires cubiques. Relation entre le combinant y, les coniques équianharmoniques et harmoniques, et le triangle polaire d'un faisceau. Exemple d'un faisceau tangentiel ayant deux points doubles. Sur les coniques bitangentes à deux coniques données. Lieu des foyers des coniques inscrites à un quadrilatère. L'hypocycloïde à trois rebroussements. Application des triangles autopolaires à une intégrale d'Aron hold. Sur une généralisation de la méthode de Weierstrass pour ramener les intégrales elliptiques à la forme normale. Ainsi qu'il ressort suffisamment de la table des matières que nous venons de transcrire, les Leçons de M. Gundelfinger se distinguent à la fois des manuels destinés à l'enseignement moyen et des ouvrages justement estimés de Salmon, de Clebsch-Lindemann, de Hesse, etc., et à ce titre elles seront consultées utilement par les élèves et par les professeurs. (J. N.)

Methodisches Lehrbuch der Elementar-Mathematik, von Dr. G. HOLZMÜLLER, Director der Gewerbeschule zu Hagen i. W. Dritter Teil. Lehr- und Uebungstoff zur freien Auswahl für die Prima realistischer Vollanstalten und höherer Fachschulen, nebst Vorbereitungen auf die Hochschul-Mathematik. Leipzig, Teubner, 1895. (In-8° de VI11-224 pages, 160 fig. dans le texte). Prix: 2,80 marcs. SOMMAIRE. Section I. Géométrie. Construction linéaire des coniques (Application des théorèmes de Pascal et de Brianchon). Conséquences pour la perspective centrale d'un cercle. Ponctuelles projectives. Faisceaux projectifs. Rapport anharmonique. Exemples de faisceaux et de ponctuelles projectifs. Exercices de géométrie analytique (Calcul de quelques lignes importantes de l'ellipse. Rayon de courbure des coniques. Quadrature des coniques).

Section II. Géométrie solide. Moments d'inertie. Prisme tronqué. Corps de révolution. Surfaces du second ordre, description et cubature. Quelques formes de voûte. Axonométrie. Projection centrale d'une sphère.

Section III. Trigonométrie sphérique. Triangles rectangles, triangles quelconques. Figures réciproques sur la sphère.

Section IV. Algèbre, avec applications mécaniques ou géométriques. - Formule d'interpolation de Lagrange. Formule de quadrature de Simpson. Moment statique, centre de gravité, moment d'inertie.- Quadrature de l'hyperbole xy= k2. Notions sur les séries. - Binôme de Newton pour un exposant quelconque. Séries 1 (1x), arc tg x, tg x,....

Section V. Equations d'un degré supérieur.

Résolution algébrique des équa

- Rectification de la

tions du 3o et du 4° degré. Notions sur les équations de degré n. Appendice. Ponctuelle involutive. Faisceau involutif. parabole.

Le livre de M. Holzmuller est clair et méthodique, et d'après le sommaire, traduction libre de la table des matières, on voit qu'il répond à son but: servir de manuel dans la classe supérieure d'un établissement d'instruction moyenne, ou d'une école professionnelle.

SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES.

Question 848.

(Voir Mathesis, (2), III, p. 152.)

On donne deux courbes U et U' et deux droites OA, OB. Deux points M et M' se meuvent respectivement sur les courbes U et U' de manière que les droites OM, OM' divisent harmoniquement l'angle AOB. On demande de trouver: 1° le point où la droite MM' touche son enveloppe; 2° la tangente à la courbe décrite par le point d'intersection T des tangentes menées en M à U et en M' à U'.

(J. NEUBERG.) Solution par M. L. MEURICE. 1 Une parallèle à OA menée par M (fig. 1) rencontre OB, OM' en des points G, N,

tels que MG

=

Fig. 1.

GN. Si MF est la tangente en M à U, NF est la tan

gente en N à la courbe décrite par N.

Décomposons les vitesses des points N, M', M en deux autres : une vitesse de circulation au tour de O, et une vitesse de glissement sur le rayon vecteur ON, OM' ou OM. Pour simplifier les constructions, prenons pour les vitesses de circulation des points N, M' les droites Np, M'q perpendiculaires à OM' et terminées en p et q à la droite OA. Nous obtenons la vitesse totale Nn de N en menant pn perpendiculaire à Np; de même la perpendiculaire élevée en q sur M'q et terminée à la tangente M'T fait connaître la vitesse M'm' du point M'; enfin une parallèle à OA par n détermine la vitesse Mm du point M.

Soient Mu, M'u' les composantes des vitesses Mm, M'm', normales à la droite MM'. Si l'on considère les mouvements des points M, M' sur

et soient Mm, M'm' les vitesses simultanées des points M, M'. L'angle droit TM est une figure invariable ayant pour centre instantané de rotation le point w. On peut donc considérer le mouvement élémentaire du point T comme résultant d'une rotation autour de o et d'un glissement le long de MT.

=

Si l'on prend Mn Mm et qu'on trace np parallèle à MT, Mn et Tp représentent les vitesses de circulation des points M, T autour de w, tournées d'un angle droit autour de leurs points d'application. Une construction analogue fait connaître la vitesse de circulation Tp' de T autour de w'. Les perpendiculaires élevées en p sur Tp et en p' sur Tp' se coupant en K, TK représente la vitesse totale de N dans une position normale à sa direction; donc TK est la normale à la courbe (T).

Voici une autre solution de la première partie. Pendant un temps infiniment petit, les points M, M' se meuvent sur les tangentes MT, M'T. Or, si deux droites

mobiles sont conjuguées harmoniques par rapport à un angle fixe AOB et rencontrent deux droites fixes TM, TM' aux points M, M', la droite MM' enveloppe une conique Σ qui touche les droites TM, TM' aux points i, j où celles-ci sont rencontrées par la droite OE, conjuguée harmonique de OT par rapport à AOB.TMM' étant un triangle circonscrit à E, le point de contact C de MM' s'obtient en tirant les droites.Mj, M'i qui se coupent en t, et en menant la droite Tt qui rencontre MM' au point cherché (fig. 1).

On construit la droite OE en traçant TD parallèlement à OA et prenant DE=TD. La conique Σ touche les droites OA, OB.

(J. N.).

Solution par M. CL. SERVAIS. 1° Deux couples de points correspondants M et M', Net N' sur les courbes U et U' déterminent sur la conique (O, M, M', N, N') une involution dont les points doubles sont situés sur les droites OA, OB; les tangentes en ces points doubles et les cordes MM', NN' passent par le pôle de l'involution. Si l'on passe à la limite en faisant tendre N, N' vers M, M', on obtient une conique Σ passant par O et touchant U, U' en M, M'. Les tangentes aux points A, B où Σ rencontre OA, OB se coupent sur la droite MM' au point-limite de l'intersection de MM' avec NN', c'est-à-dire au point de contact P de MM' avec son enveloppe.

Pour obtenir le point C, soient P, P', Q les points de rencontre de OA avec MT, MT', MM' et soit K le point de rencontre des droites MP', M'P; TK est la polaire de Q par rapport à z. Si MO, M'O coupent TK en L, L', les droites LM', LM concourent au point A où la droite OA coupe E. La droite QL' rencontrant MT, MT' aux deux points R et R', RO et R'A sont des tangentes en O et A.

(J. N.).

La tangente au lieu décrit par le point d'intersection P, des tangentes aux courbes U et U' aux points M et M', est l'axe d'homologie de deux coniques quelconques tangentes au point P, l'une de ces coniques ayant un contact du second ordre avec U au point M, l'autre un contact du même ordre avec U' au point M'. Une droite menée par P rencontre les coniques aux points K et K', les droites MK et M'K' se coupent sur l'axe d'homologie. Il suffit donc de pouvoir construire les points d'intersection K et K' de la droite PK avec les coniques. Cette construction se fera à l'aide du théorème de Pascal, si on parvient à déterminer un point de chacune des coniques (*).

Au point M décrivons un cercle tangent à la courbe U, et dont le

(*) Cette détermination repose sur les applications de la quasi-inversion linéaire] aux courbes osculatrices (Mathesis, (1), VIII, p. 29).