MATHESIS

AVEC LA COLLABORATION DE PLUSIEURS PROFESSEURS BELGES ET ÉTRANGERS.

DEUXIÈME SÉRIE.

TOME V. ANNÉE 1895.

(TOME XV DE LA COLLECTION.)

AD. HOSTE, ÉDITEUR GAUTHIER-VILLARS & FILS

GAND, IMPRIMERIE C. ANNOOT-BRAECKMAN, AD. HOSTE, SUCCESSEUR

1895

ABRÉVIATIONS.

B. B. Bulletins de l'Académie royale de Belgique.

C. R. Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris. N. A. M. Nouvelles Annales de Mathématiques (depuis 1842). N. C. M. Nouvelle Correspondance Mathématique (1874-1880).

J. M. E. (ou J. M. S). Journal de Mathématiques élémentaires (ou Journal de Mathématiques spéciales), fondé en 1877 par BOURGET, continué par G. DE LONGCHAMPS.

Crelle,

Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par CRELLE en 1826, continué successivement par BORCHARDT, KRONECKER et WEIERSTRASS, par KRONECKER et par FUCHS (en allemand surtout). Liouville, Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par LIOUVILLE en 1836, continué d'abord par RESAL, puis par JORDAN.

(2), III, 327-333 signifie : Deuxième série, tome troisième, pages 327 à 333.

SUR L'AXE D'HOMOLOGIE DU TRIANGLE FONDAMENTAL
ET DU TRIANGLE DE BROCARD;

par M. G. TARRY.

THEOREME. Étant données deux figures homographiques dans un même plan, les points de l'une des figures qui, avec leurs homologues de la seconde figure, sont alignés sur un point fixe, sont situés sur une même conique qui passe par le point fixe et par les points doubles des deux figures.

Et corrélativement, les droites de l'une des figures qui rencontrent leurs homologues sur une droite fixe, enveloppent une autre conique qui est tangente à la droite fixe et aux droites doubles des deux figures (CHAsles, Géométrie Supérieure, p. 401).

DÉMONSTRATION. Désignons par q et q' les deux figures homographiques, par A et A' deux points homologues en ligne droite avec le point donné D', par D l'homologue de D' considéré comme appartenant à q'. Lorsque le couple AA' varie, les droites DA, D'A' engendrent deux faisceaux homographiques; donc leur point d'intersection A engendre une conique passant par D et D' et, comme il est facile de le voir, par les points doubles de o et q'.

On démontrerait de la même manière la propriété corrélative.

APPLICATIONS. Soient ABC le triangle fondamental, A,B,C, le premier triangle de Brocard; ces triangles, qui sont inversement semblables, déterminent deux figures inversement semblables, q et q', cas particulier de deux figures homographiques. Les droites doubles de ces figures sont la droite à l'infini i, et les axes de pseudo-symétrie d, d' qui se confondent avec les axes d'inertie du triangle ABC et avec les axes de l'ellipse de Steiner; les points doubles sont le barycentre G et les points à l'infini sur det sur d'.

Dans ces figures, à tout point X il correspond deux coniques Sx, Sx, qui sont respectivement les lieux des points homologues de q, q' qui sont alignés sur X. De même, à toute droite il correspond deux coniques

370474