Mathesis: recueil mathématique

Algèbre à l'usage des candidats aux baccalauréats de l'enseignement secondaire classique, lere partie. 2° partie, 2 série, moderne, lere partie, 2o partie, 2o et 3a séries (*), par M. L. GIRAUD, ancien élève de l'École Polytechnique, professeur agrégé de Mathématiques au Lycée de Bordeaux. Paris, Société d'éditions scientifiques, Place de l'École de Médecine, 4, rue Antoine-Dubois (II, 162 pages in 18). Prix : 2 fr.

Sommaire: 1. Nombres négatifs; fractions algébriques; calcul algébrique. 2. Equations et inégalités du premier degré. 3. Equations et inégalités du second degré. Théorie des maxima et minima. 4. Progressions et logarithmes; intérêts composés et annuités. 5. Compléments. Notions de géométrie analytique, équation d'une droite, coefficient angulaire, construction d'une droite donnée par son équation. Dérivées, variation des fonctions.

Petit livre excellent que nous conseillons à tous les professeurs d'algèbre de mettre dans leur bibliothèque. On remarquera l'introduction des nombres négatifs dès le début du livre, innovation introduite depuis longtemps par Faifofer dans son Algèbre et imposée maintenant en France par le programme officiel. Le grand mérite de M. GIRAUD, dans son manuel d'Algèbre, est d'avoir nettement indiqué les difficultés (discussion des équations, limites, etc.) et de les avoir résolues, quand le programme l'exigeait.

Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen von Professor Dr. L. SCHLESINGER, Privatdocenten an der Universität zu Berlin. In zwei Bänden. Erster Band. Leipzig, Teubner, 1895 (In 8o de XX-487 pages). Prix: 16 marcs.

Exposé systématique et complet de toutes les recherches tant anciennes que nouvelles des géomètres sur les équations linéaires. Le premier volume est consacré surtout aux théories générales; le second traitera des équations linéaires spéciales. L'auteur présuppose seulement chez le lecteur la connaissance des principes de la théorie générale des fonctions. Autant qu'on peut juger à première vue, le Traité de M. le Dr Schlesinger a sa place marquée dans la bibliothèque de tous les analystes (**).

(*) Le titre de ce petit livre rappelle les défuntes sections A, B, C de l'enseignement de nos classes d'humanités, sections qui, en pratique, portaient les noms B, C, D parce que l'on avait imaginé une section officieuse A différente des sections officielles A, B, C.

(**) Une introduction historique très intéressante se trouve en tête du volume; elle est précédée d'indications bibliographiques très nombreuses classées d'après les divers chapitres de l'ouvrage. Nous y relevons les noms d'Euler, Legendre, Gauss, Abel, Jacobi, Cauchy, Eisenstein, Weierstrass, Riemann, Fuchs, Briot, Bouquet, Poincaré, Königsberger, Hamburger, J. Tannery, Heffter, Christoffel, Petzval, Frobenius, Pasch, Appell, Vessiot, Brassinne, v. Escherich, Thomé, d'Alembert, Libri, Floquet, Lagrange, Hesse, Jurgens, Malmstén, Joachimsthal, Lacroix, Baltzer, Puiseux, Laplace, Casorati, Ed. Weyr, Sauvage, Jordan, Seiffert, Pochhammer, Schafheitlin, Dirichlet, Pfaff, Gudermann, Kummer, Goursat,

Questions de Mécanique à l'usage des élèves de mathématiques spéciales, par X. ANTOMARI et C. A. LAISANT, docteurs en sciences mathématiques. Un vol. Paris, Nouy et Cie. (In-8° de 224 pages, avec 67 fig. dans le texte). Prix : fr. 3-50. L'ouvrage est annoncé comme faisant suite aux Leçons de Cinématique et de Dynamique publiées en 1892 par M. Antomari et dont un compte rendu a été inséré dans ce Journal (1893, pp. 39-40). Le lecteur voudra bien aussi consulter les ouvrages de M. Carvallo: les Leçons de statique, 1892, et le Traité de Mécanique, 1893 (analysé également dans Mathesis, 1893, p. 115).

On voit donc dans quel esprit est rédigé le recueil de questions.

Chacun des six chapitres dont il se compose est divisé en trois parties: un résumé des notions générales, une discussion de plusieurs questions résolues, et une vingtaine de questions proposées, dont la résolution est toute préparée.

L'ouvrage lui aussi se divise en trois parties ayant trait respectivement à la Cinématique, à la Dynamique et à la Statique; elles sont précédées et terminées par quelques notions de géométrie vectorielle qui ont en Mécanique notamment leur place toute marquée. Le lecteur, en effet, le moins familiarisé avec la théorie des quantités géométriques dans le plan ou des équipollences et la théorie des quaternions qui en est l'extension à l'espace à trois dimensions ne peut manquer, ce nous semble, d'être frappé de la corrélation philosophique de ces deux généralisations de la géométrie avec l'étude et la science du mouvement.

La notion de force est le trait d'union de ces trois branches des mathématiques, et avant même que cette notion intervienne effectivement, il en est fait une assimilation tacite dans la théorie de la composition des vecteurs. L'importance de cette méthode pour l'étude de la Mécanique a été mise en lumière par M. Laisant dans les ouvrages depuis longtemps classiques qu'il a publiés pour la vulgariser. Par les simplifications qu'elle procure, elle prend chaque jour plus de faveur dans l'enseignement mathématique.

Son inscription définitive dans les programmes doit donc être demandée et souhaitée; nul doute qu'elle n'y exerce une heureuse influence. H. B.

SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES.

Question 885.

(Voir Mathesis, (2), III, p. 240).

On donne une circonférence O et un diamètre fixe AB. D'un point variable P de O comme centre on décrit une circonférence tangente à AB. Soit C le point de contact.

Helge von Koch, Hill, Mittag-Leffler, Fabry, Cayley, P. Günther, Caqué, Vogt, Heun, Newton, Ruffini, Liouville, Hermite, Schwarz, Schottky, Klein, Picard, Laguerre, Brioschi, Halphen!

On demande : 1° l'enveloppe de l'axe radical des circonférences O et P; 2o le lieu de l'intersection de cet axe avec le rayon de contact PC; 3o le lieu des points d'intersection de la tangente en P au cercle O avec le cercle P. (DROZ FARNY.) Soient D, E les projec

Solution par M. H. BROCARD (Bar-le-Duc).·

tions des points A, B sur la tangente en P au cercle O. Comme PA est la

bissectrice de l'angle CPD, on a AC AD, PC – PD - PE; donc le cercle P a pour diamètre la projection de AB sur la tangente en P au cercle O. Il en résulte que les points D, E décrivent deux cardioïdes, podaires des points A, B par rapport au cercle O; ce qui résout la troisième partie.

Soit LL' la corde commune aux cercles P et O, rencontrant PC en M, et soient F le point de rencontre de DE avec AB, G le milieu de CF. La division BACF étant harmonique, on a

donc G appartient à l'axe radical des deux cercles. On conclut de là que M est le milieu de CP; donc ce point décrit une ellipse ayant pour axes AB et AB.

Au lieu de chercher l'enveloppe de LL', il est préférable, comme je l'ai fait remarquer à diverses reprises, de chercher sa podaire par rapport à l'origine. Soient donc I le milieu de LL', et r =OI, 0 = IOA ses coordonnées polaires. De l'égalité

OI2 - IP2 = OL' - LP - R - R2sin20,

Le lieu de I est donc une courbe ovale, du 6° degré, ayant mêmes sommets que l'ellipse (M).

MM. Barisien, Cristescu, Déprez, Gillet et Mandart ont donné des solutions analytiques de la question 885. Nous allons résumer la première.

En prenant pour axes coordonnés OA et une perpendiculaire en O, et en posant POA, les équations des deux cercles sont

x2 + y2 — R2 =0, (x — R cos q)2 + (y — R sin y)2 = R2 sin2 y ;

celle de l'axe radical LL' est donc

Ꭱ

x cos y sin y =

(1 + cos3 y).

(1)

L'équation (2) représente la perpendiculaire abaissée de C sur LL'; donc LL' touche son enveloppe au pied de la perpendiculaire menée de C(*). Des égalités (1) et (2) on tire

L'enveloppe cherchée est donc une courbe unicursale, du 6m• degré. Elle a pour

L'équation de PC étant x = R cos p, on trouve pour les coordonnées du point de rencontre de LL' avec PC,

ce point est donc le milieu de CP et, par suite, il décrit une ellipse.

Soient D, E les intersections de la circonférence P avec la tangente en P au cercle O. En projetant les contours OPD, OPE successivement sur les deux axes coordonnés, on trouve

(x2 + y2±Rx − R1)2 + R2 (x2 + y2 — 2R1) = 0.

Le lieu de la projection de O sur l'axe radical des cercles O, P est la courbe

Les centres de similitude des deux cercles se meuvent sur deux paraboles ayant pour foyer commun O et passant par A et B.

(*) Le point de contact de LL' avec son enveloppe est évidemment l'intersection de deux axes radicaux consécutifs; ou le centre radical du cercle O et de deux positions consécutives du cercle P. Mais l'axe radical de ces positions du cercle P est la perpendiculaire abaissée de C sur la tangente en P au cercle O; par suite, le centre radical est la projection de C sur LL'.