Sx, Sr, qui sont respectivement les enveloppes des droites homologues de q, q' qui se rencontrent sur æ.

Les coniques Sx, Sx, sont des hyperboles équilatères qui passent par G et ont leurs asymptotes parallèles aux droites d, d'.

Si l'on prend pour X le centre d'homologie D des triangles ABC et A,B,C1, l'hyperbole associée S, est circonscrite à ABC; c'est donc l'Hyperbole de Kiepert. Dès lors, il est évident que toute droite qui joint un point quelconque de l'hyperbole de Kiepert à son homologue dans la figure q', passe par le centre d'homologie D. Par exemple, la droite NO, qui joint le point de Tarry N au centre O du cercle ABC passe par D.

Les coniques Sa, se sont des paraboles touchant les axes de Steiner ò, d'. Si l'on prend pour a l'axe d'homologie d des triangles ABC et A,B,C,, la parabole associée sa est tangente aux axes de Steiner det d', à l'axe d'homologie d, et aux côtés du triangle de référence ABC; la parabole sa touched, d', d et les côtés du triangle A,B,C1.

La directrice de la parabole sa, d'après un théorème connu, passe par l'orthocentre H du triangle circonscrit ABC; elle passe aussi par G, point d'intersection des tangentes rectangulaires d, d'. Cette droite est donc la droite d'Euler HO; par suite, la parabole sa est celle que M. Neuberg a rencontrée dans son étude sur le point de Steiner (J.M.S., 1886, p. 30.)

La parabole de Neuberg, enveloppe des polaires trilinéaires des points de la droite GK par rapport au triangle ABC, est aussi tangente à la droite de Lemoine, polaire trilinéaire du point de Lemoine K; son foyer est le pôle trilinéaire de la droite OK. Les droites qui joignent les sommets du triangle fondamental aux points de contact des côtés opposés avec la parabole sa passent par le point de Steiner (NEUberg, loc. cit.).

La droite de Simson, relative à la projection du point de Steiner sur la droite NG est parallèle à la droite HG (E. CESARO, N. A. M., 1887, p. 217). En conséquence, le foyer F de sa est le second point de rencontre de la circonférence ABC avec la droite NG.

La parabole sa a pour foyer F' le second point d'intersection de la circonférence de Brocard avec la droite qui joint le centre du cercle ABC, homologue de N, au barycentre G, point double. Les droites GF, GF' étant homologues dans qet q', sont également inclinées sur d; GF est donc la directrice de sa.

Considérons maintenant le triangle GFF'. La parabole sa a pour foyer F, pour directrice GF'; son homologue sa a pour foyer F', pour directrice GF. Les symétriques du foyer d'une parabole, par rapport à ses tangentes, étant situés sur la directrice, les tangentes communes aux deux paraboles sa, sa sont les bissectrices de l'angle FGF' (ou d et d') et la perpendiculaire au milieu de la droite FF'. Cette dernière est donc la droite d. On a donc le théorème suivant: L'axe d'homologie d des triangles ABC et A,B,C, est perpendiculaire au milieu de la droite FF.

FF' étant parallèle à ON, nous avons enfin une démonstration géométrique de la propriété que la droite d est perpendiculaire à ON.

REMARQUES. I. Je signalerai encore une conique remarquable de la géométrie du triangle: c'est l'ellipse imaginaire, qui a pour centre le point G et qui est conjuguée au triangle ABC; ses axes coïncident avec les axes de Steiner d, d'. Pour parvenir à la connaissance de cette ellipse, il suffit de projeter le triangle orthogonalement suivant un triangle équilatéral; le cercle circonscrit et le cercle conjugué à ce dernier triangle sont les projections d'une ellipse circonscrite et d'une ellipse conjuguée au triangle ABC, qui ont même centre G et leurs axes dirigés suivant les mêmes droites. Par rapport à cette ellipse imaginaire, D est la polaire de d.

II. Soient P.BC, BCA, P.AB trois triangles isoscèles semblables, construits sur les côtés du triangle ABC. On sait que le point d'intersection des droites APa, BPb, CPc engendre l'hyperbole de Kiepert, et que cette courbe est aussi le lieu du point d'intersection des perpendiculaires abaissées de A, B, C respectivement sur les droites PoPc, PePa, PaPb. Pour deux valeurs de l'angle P.BC, les trois points Pa, Pb, Pc sont en ligne droite; les deux droites remarquables ainsi obtenues sont précisément les axes de Steiner d, d'.

Les côtés du triangle P.PP. enveloppent trois paraboles, qui ont pour tangentes communes les droites, d'et qui sont inscrites respectivement aux triangles OB'C', OC'A' et OA'B', A', B' et C' désignant les milieux des côtés du triangle ABC.

Bien que ces propriétés soient connues, nous avons cru utile de les rappeler ici.

où 1, y1 sont les coordonnées d'un point quelconque de l'ellipse

(3)

(4)

je dis que la droite (3) est toujours normale à une certaine ellipse, ou enveloppe une développée d'ellipse.

En effet, si l'on identifie les équations (2) et (3), on trouve

tirant de là les valeurs de x, et y. pour les substituer dans l'équation (4), on obtient

identifiant les équations (1) et (5), on aura les égalités

(5)

qui déterminent les axes d'une ellipse à laquelle la droite (3) est toujours

normale.

2. La proposition que nous venons d'établir est susceptible de plusieurs

variantes.

Ainsi, si l'on introduit l'anomalie excentrique, la normale à l'ellipse (1) a pour équation

ой est un angle variable, représente le système des normales à l'ellipse dont les axes sont donnés par les égalités

Il en est de même des droites ayant pour équation

si (x1, y1) vérifiait l'équation (4).

Enfin, considérons deux ellipses (E), (E.) dont les équations sont

(6)

et regardons comme homologues deux points M (x, y), M, (x,, y,) de ces courbes qui ont même anomalie, c'est-à-dire tels que

la droite MM, est constamment normale à une troisième ellipse. En effet, son équation est

3. Passons à quelques applications géométriques.

La droite qui joint les projections d'un point M (x, y) d'une ellipse E

sur les axes,principaux est toujours normale à une seconde ellipse, car elle a pour équation

Soit M (x, y) un point mobile sur une ellipse E; prenons sa polaire m par rapport à une seconde ellipse E', puis le pôle M, (x, y) de m par rapport à une troisième ellipse E., ces ellipses ayant leurs axes dirigés suivant les mêmes droites. L'équation de m étant à la fois

on en conclut que l'équation de la droite MM, est de la forme (6), donc MM, est constamment normale à une certaine ellipse.

On sait que la droite m enveloppe une ellipse; si on substitue celle-ci à l'ellipse E, M, devient le point de contact de m. Donc si on prend la polaire réciproque d'une ellipse E par rapport à une ellipse E' dont les axes ont les mêmes directions, la droite qui joint un point de E au point de contact de sa polaire avec l'enveloppe de cette droite est constamment normale à une certaine ellipse.

4. Nous rappelons ici quelques théorèmes intéressants énoncés par M. Weill et résultant de la proposition donnée ci-dessus.

Soient E, E' deux ellipses dont les axes sont dirigés suivant les mêmes droites. Supposons qu'il existe un triangle ABC qui soit à la fois inscrit à E et circonscrit à E'; alors il existe une infinité de triangles jouissant de la même propriété. Désignons par A', B', C' les points de contact des côtés de ABC avec E'. Si (x, y) sont les coordonnées de A, celles de A' sont de la forme ax, By; par suite, lorsque A parcourt l'ellipse E, la droite AA' reste constamment normale à une certaine ellipse. La perpendiculaire abaissée de A sur BC jouit de la même propriété ; car son équation a la forme (6). Il en est de même de la médiane joignant A au milieu de BC, les coordonnées du centre de gravité de ABC ayant pour valeurs

où a et ẞ sont les constantes et u une fonction de x, y.