ou

Qq aq=bq-Qq.

En remplaçant dans cette égalité aq, bq par les quantités plus petites Mm, Nn, il viendra

Donc à des accroissements MQ, QN égaux de z, correspondent des accroissements de plus en plus petits de y' à mesure que l'on s'éloigne de 0; par conséquent, (y': z) décroit quand z croit, pour les points situés entre 0 et S.

7. THÉORÈME V. Quand z tend vers zéro, (x: z)tend vers une limite finie en décroissant, (y': z) vers une limite finie aussi, mais en croissant. 1o D'après le théorème III, (x: z) décroit quand z décroit; donc (x: z) a une limite finie. ou nulle. 2o D'après le théorème IV, (y': z) croît quand z décroît; donc (y' z) a une limite finie ou infinie. 3o D'après la seconde partie du théorème II, on a x > x', donc

> 블

Mais (z), d'après ce qui vient d'être prouvé (2o), a une limite finie ou infinie; donc (x: z) qui surpasse (x': z) n'a pas une limite nulle. 4o De même, d'après la seconde partie du théorème II, on a y' <y, et aussi

Mais (y) a une limite finie ou nulle d'après ce qui a été démontré au 1o. Donc (y' z), qui est inférieure à (y: z), n'a pas une limite infinie.

х

REMARQUE. Si l'on compte les z à partir de S, les x à partir de s, on prouve de même que (x 2) tend vers une limite finie en croissant, (y': z) vers une limite finie en décroissant.

:

9. THÉORÈME VI. Dans un quadrilatère trirectangle où y' est constant et où

x croit, x' croît de plus en plus lentement à mesure que x croît (Fig. 2'). Soient

AabB, AacC, AadD trois quadrilatères trirectangles, l'angle A étant obtus dans chacun d'eux; nous supposons de plus bc

l'on a

=

cd; il faut démontrer que

Supposons que AC rencontre bB en H et dD en E. On a

Mais AH étant une oblique par rapport à AB, AE par rapport à AD, on a

10. THEOREME VII. Dans un quadrilatère trirectangle (x, y, x', y') où x tend vers zéro, (x': x) tend vers une limite (y) inférieure à (x': x), mais (x': x) est inférieure à ply') (Fig. 2"). Soient AabB un quadrilatère (x, y, x', y') dont Best l'angle obtus, AabC un autre quadrilatère trirectangle dont A est l'angle obtus. D'après la remarque du n° 7, lorsque x décroît, le rapport (x: x') croît; le rapport inverse décroit et a donc une limite p(y) inférieure à (x': x). D'après le théorème VI, quand y

Fig. 2.

décroit, (AC: x) croit et tend vers une limite u(y) supérieuré à (AC: x). D'ailleurs la perpendiculaire AC est plus petite que l'oblique AB. Donc

Puisque (y) surpasse (AC: x), on a donc aussi

Dans le quadrilatère AabB, Bb joue le même rôle que y dans AabC; donc, d'après la dernière inégalité,

On peut écrire la première de ces relations sous la forme

D'après le théorème VII, si Ss et, par suite, Bb, Cm tendent vers zéro, on a

CB: =y, lim cO COA x. Donc l'inégalité (a)

❤(x − y) — Q(x) ❤(y) Z❤(x) (y).

—

(B)

Cette inégalité exprime que o est une fonction continue.

2o Soit BB' = a, une quantité fixe aussi petite qu'on le veut. Menons B'b' perpendiculaire à SO, b'm' perpendiculaire à Cc. On a

cb' > CB' B'b' Cc > CB + α 2Ss

=

CD + α

- 2Ss.

Donc, si l'on rend Ss égal ou inférieur à α, cb' est plus grand que CD et, à fortiori que cd; par suite, on a

3° On déduit de là, en faisant tendre a vers zéro,

Q(x − y) + Q(x + y) >

2q)(y).

❤(x − y) + ❤(x + y) 2❤(x) ❤(y).

REMARQUE. Dans le cas où l'on a x=y, la démonstration doit être légèrement modifiée. Au lieu de considérer un point B' voisin de B, on en considère un voisin de D, entre C et D.