diculaires aux traces du plan. (Il est entendu que la droite et le plan sont rapportés aux mêmes plans coordonnés).

Pour démontrer cette proposition, désignons par D la droite perpendiculaire à un plan quelconque P; le plan P' conduit par cette droite D et par sa projection sur l'un des plans coordonnés, est perpendiculaire à ce plan coordonné et au plan P, puisqu'il passe par des droites perpendiculaires à ces plans;

un plan perpendiculaire à deux autres plans est perpendiculaire à leur intersection commune ; donc la trace du plan P' sur le plan coordonné est (art. 15) perpendiculaire à la trace du plan P; mais cette trace du plan P' et la projection de la droite D coïncident (art. 3); d'où il suit que la projection d'une droite D sur l'un des plans coordonnés, est perpendiculaire à la trace d'un plan P perpendiculaire à cette droite.

17. Lorsqu'une droite est perpendiculaire à deux autres droites, elle est aussi perpendiculaire au plan qui est parallèle à ces dernieres droites.

Des Opérations de la Géométrie descriptive.

18. Les propositions précédentes, relatives à la ligne droite et au plan, renferment la théorie de la géométrie descriptive. En considérant cette géométrie comme un art graphique, dont toutes les opérations doivent s'exécuter avec la règle et le compas, ces opérations comprennent d'abord celles qui sont nécessaires pour résoudre les problêmes de la géométrie élémentaire, relatifs à la ligne droite et au cercle tracés sur un plan. Dans tous les autres cas, même les plus composés, où l'on se sert à-la-fois de deux plans coordonnés ou de projections, il est très-remarquable que le nombre des constructions graphiques de la géométrie descriptive se réduit à deux, savoir: 1o construire la distance de deux points dont on a les projections; 2° construire le point de rencontre d'un plan qui passe par trois points donnés, et d'une droite menée par deux points aussi donnés?

C'est ainsi que toutes les opérations sur les nombres se réduisent à la pratique des quatre règles connues de l'arithmétique.

Des Surfacescourbes;des Lignes courbes.

§. II.

De la Génération des surfaces, de leur Définition.

19. Si l'on considère une surface comme le lieu d'une courbe mobile dont la forme est constante ou variable, la loi du mouvement de cette courbe détermine celle qui lie les points de la surface entre eux. On nomme la courbe mobile la génératrice de la surface.

En faisant mouvoir une surface d'une forme constante ou variable, l'enveloppe de l'espace qu'elle parcourt est une autre surface qu'on nomme surface enveloppe, et qui est le lieu des lignes d'intersections successives de la surface mobile. Chacune de ces lignes peut être considérée comme la génératrice de la surface enveloppe.

Une surface est définie lorsque, pour chacun de ses points, on peut assigner la ligne génératrice qui passe par ce point. Cette génératrice peut être donnée ou en relief, ou par ses projections. (Art. 4.)

Les surfaces qu'on emploie le plus fréquem

ment dans les arts sont celles qui ont pour génératrices mobiles le cercle et la ligne droite. Parmi les surfaces qui ont pour génératrice le cercle, on doit distinguer celles qu'on nomme surfaces de révolution, et qui s'exécutent sur une machine très-connue, le tour à pointes, tour en l'air, etc.

Il y a deux espèces de surfaces engendrées par une droite, les unes qu'on nomme surfaces développables; les autres que je propose d'appeler surfaces réglées.

Des Surfaces de révolution, et en général des Surfaces engendrées par un cercle mobile.

20. Lorsqu'un cerele se meut, son centre décrit une courbe; son rayon varie suivant une certaine loi; les intersections successives du plan du cercle forment une surface. L'enveloppe de l'espace qu'un cercle parcourt n'est donc déterminée que lorsqu'on connaît ces trois choses; 1o la loi suivant laquelle le rayon du cercle varie; 2o la courbe décrite par le centre; 3° la surface lieu géométrique des intersections successives du plan mobile, qui contient le cercle.

Quel que soit le mouvement d'une sphère

d'un rayon constant ou variable, l'enveloppe de l'espace qu'elle parcourt est le lieu des cercles intersections successives de la sphère mobile. Si l'on remarque que deux sphères qui se pénètrent ont pour intersection un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite qui joint leurs centres, on verra facilement que la courbe décrite par le centre d'une sphère mo bile, est l'axe curviligne d'un canal dont les sections perpendiculaires à cet axe sont des cercles. Lorsqu'on substitue à cette courbe une ligne droite, la surface canal devient une surface de révolution. On appelle ainsi la surface engendrée par une ligne droite ou courbe, plane ou à double courbure, qui tourne autour d'un axe fixe. Un plan mené par cet axe se nomme plan méridien. Tous les plans méri diens coupent la surface de révolution suivant la même ligne, qu'on nomme section méridienne.

Toutes les lignes planes ou à double courbure qu'on peut tracer sur une surface de révolution dont l'axe est donné, engendrent, par leur mouvement de rotation autour de cet axe, la même surface; ce qui est évident, en remarquant que les rayons et la position respective des cercles de la surface ne varient pas.