OP, dirigée suivant l'axe M N ; l'autre suivant un petit arc Ff, perpendiculaire au plan de la courbe méridienne MAN, et par conséquent perpendiculaire à la normale AF O qui est dans le plan de cette courbe. Ayant mené la diagonale A D de l'élément A B CD, proposons-nous de trouver le rayon de courbure de la section normale AD OF, dont le plan passe par la droite ADS, prolongement de la droite A D de cette nouvelle section. La droite D Pƒétant la normale à la surface au point D, la projection de cette normale sur le plan de la section normale DAO sera (art. 43 E) la normale à cette section. Soit donc G la projection orthogonale du pointf sur le plan DA O, la droite D G coupe la normale AO F au point w, centre de courbure de la section normale D A O F, et détermine le rayon de courbure A de cette section au point A. W Pour trouver l'expression du rayon de courbure Aw, nommons R le rayon de courbure AF de la courbe méri dienne MAN, et r le rayon de courbure A O de la section normale dont le plan est perpendiculaire à celui de la courbe méridienne. Les deux triangles semblables 4 0 C, FOf rectangles en A et F, donnent la proportion: 19 04: OF:: AC: Ff, ou r: R-r::AC÷Fƒ—A C R Le petit arc Ffétant perpendiculaire à la droite A F, it formera avec sa projection FG sur le plan AF D, un trian gle Ff G rectangle en G, et l'angle G Fƒ de ce triangle sera la mesure des angles compris entre les plans des sections normales AO CFƒ et A ODFG, dont la droite A OF est l'intersection commune. Comparant les deux triangles rectangles A w D, FwG, cos' A(R-r): r :: R~pif; d'où l'on tire l'équation de l'art. 2 : L'élément d'une surface de révolution devient l'élément d'une surface cylindrique lorsque la courbe méridienne est une ligne droite. La relation (A) a donc lieu pour les surfaces cylindriques comme pour les surfaces de révolution : nous allons démontrer qu'elle est encore vraie pour toutes les surfaces développables. De la Courbure d'un élément de surface développable, et en particulier d'une surface cylindrique. 6. Soient (pl. 2, fig. 5) M M', m m' deux droites parallèles et consécutives d'une surface cylindrique; ayant mené, deux plans parallèles et infiniment voisins, perpendicu❤ laires aux droites de cette surface; soient MB et M'B' les sections de la surface par ces plans; les arcs égaux Mm, M' m' de ces courbes comprises entre les parallèles M M', m m' déterminent l'élément M m M' m' de la surface cylindrique. On voit que les quatre normales à cette surface menées par les sommets M, m, M', m' des angles de l'élément sont les arêtes d'un coin dont la base est l'élément MM' m m', et dont les faces égales OM M', 0mm' se coupent suivant la droite OO' parallèle aux droites M M', mm'. Les points O, O' sont évidemment les centres de courbure des petits arcs M m, M' m'. 260 pa Projetant la normale m' O' sur le plan de la section normale O M m2, la projection orthogonale m': N' C rencontre la normale M O C au point C, centre de courbure de l'arc M m'. Pour obtenir le point N' de cette projection, on remarque que les deux normales MO, M'O'étant rallèles, la seconde se projette sur le plan O M m qui passe par la première, suivant une parallèle à cette première ; d'où il suit qu'après avoir abaissé la perpendiculaire M' N du point M' sur l'are M m', là parallèle N N' aux droites MO, M'O' sera la projection de cette dernière droite sur le plan O M m': donc si l'on prend NN'—MO—M'O', le point N' sera la projection du point O' sur le plan OM m'. Soient r et p les rayons de courbure des sections normales OMm, OM m'; A l'angle des plans de ces deux sections, on a: 0 M=0m= O'M' = 0' m' = r; CM=p. Le triangle rectangle M M' m' étant divisé en deux au, tres triangles rectangles MM'N, N M' m' par la droite M' N, on a : m' N M'm'. cos A; m' M= M' m' cos A Les deux triangles semblables m' MC, m' N N' donnent Cette équation P I cos' A++ sin2 A. s (A) 1 cos' A mise sous la forme sui vante, plus commode pour la construction géométrique, pas de l'équation (A") (art. 5), ne diffère de cour 7. Nous venons de démontrer que le rayon de courbure de la section droite d'un cylindre en un point de cette section, est égal au produit de deux facteurs, l'un le rayon bure d'une autre section normale passant par le même point, et l'autre le carré du cosinus de l'angle que les plans des deux sections font entr'eux. Or, toutes les sections perpendiculaires à une droite d'une surface développable quelconque, sont dé même courbure pour tous les points de la 4 droite, puisque cette droite est l'intersection des deux élémens plans consécutifs de la surface: donc on peut substi tuer à la surface développable le cylindre qui a pour section droite le cercle osculateur de l'une quelconque des sections de la surface développable, dont le plan est perpendiculaire à la droite de cette surface. D'où il suit que pour un point quelconque d'une surface développable, le rayon de courbure de la section normale perpendiculaire à la droite qui passe par ce point, est égal au produit de deux facteurs, l'un le rayon de courbure d'une seconde section passant par la même normale que la première, et l'autre le carré du cosinus de l'angle que les plans des deux sections font entr'eux.* Puisqu'une surface développable a pour surface osculatrice suivant une droite, un cylindre droit à base cir a lieu pour ce cylindre, et on sera autorisé à conclure qu'elle a également lieu pour toute autre surface développable. Le cylindre droit à base circulaire est un cas particulier des surfaces du second degré, qui sont l'objet des articles " III. Des Rayons de courbure des courbes du second degré aux sommets des axes principaux de ces courbes. 8. Construisons les rayons de courbure d'une ellipse aux sommets du grand et du petit axe. On Soit (pl. 2, fig. 4) AB Ele demi-cercle base d'un cylindre droit; A B CD la section plane de ce cylindre qui |