Comparaison des élémens d'une surface quelconque à l'élément d'une surface du second degré. 13. Les rayons de courbure principaux R et r d'un élément de surface étant donnés, on connaît une ellipse ou une hyperbole qui aurait 2 r pour l'un de ses axes principaux, et pour second axe principal une droite 2 a, telle que le rayon de courbure à l'extrémité du premier axe 27 soit égal à R. On satisfait à cette condition (art. 8 et 10) en supposant 2 ret 2 R ==2, ou a = VRT. La courbe du second degré, qui a pour axes principaux VR r,étant considérée comme la génératrice d'une ellipsoïde ou d'un hyperboloïde de révolution autour de l'axe 2 VRT, un plan perpendiculaire sur le milieu de cet axe de révolution, coupe la surface suivant un cercle du rayon r; à chaque point de ce cercle correspond un élément de surface dont les rayons de courbure principaux sont évidemment R et r ; d'où il suit (art. 3) qu'il y a identité entre cet élément et celui de toute autre surface qui a pour rayons de courbure principaux les mêmes quantités R et r. Si le rayon de courbure R est infini, l'hyperboloïde de révolu tion devient un cylindre droit à base circulaire du diamètre 2 r. Il n'y a donc aucun élément de surface qui n'ait son égal en courbure et en direction de courbure sur l'une des trois surfaces du second degré : l'ellipsoïde, l'hyperboloïde de révolution, et le cylindre droit à base circulaire. De l'Ellipsoide et de l'Hyperboloïde de révolution. 14. Soit ACB (fig. 9 et 10, pl. 2) la section méridienne génératrice de l'ellipsoïde ou de l'hyperboloïde de révolu→ tion; O le centre de cette section; A O B l'axe de révolution. Le plan EOF C' mené par le centre O perpendiculairement au plan du méridien A CB, coupe la surface suivant une ellipse E O C', qui a pour grand axe E F, et pour petit axe une droite égale à 2 CO. l'é Soit O Ba, OC=b; angle C OF=A;0ƒ=r; Ffx: considérant l'ellipsoïde (fig. 9), on a pour quation de l'ellipse A CB : x2 ( a2 cos2 A + b2 sin2 A ) ≈ a2b2 sin2 Å, donc Le rayon de courbure de l'ellipse EOF C'au sommet C Les deux sections principales de l'ellipsoïde au point C sont le cercle du rayon CO, et l'ellipse méridienne qui a pour demi-axes principaux OA et O C. Nommant R le rayon de courbure de cette ellipse au point C, et r le demi-aze O C=b, on aura (art. 8) On trouverait par le même calcul, pour l'hyperboloïde de révolution (fig. 10), Rr (4") οιι 15. Puisque la courbure d'un élément de surface quelconque ne dépend, d'après le théorême d'Euler, que des rayons de courbure de deux sections principales, il est bien évident qu'il n'y a aucune surface qui n'ait pour surface osculatrice en un point quelconque, ou un ellipsoïde de révolution, un hyperboloïde de révolution, ou un cylindre droit (1) Les constantes nécessaires pour la définition de ces surfaces osculatrices étant exprimées au moyen des deux rayons de courbure principaux d'une surface quelconque S, toutes les relations entre ces constantes, qui ré→ sultent des propriétés des surfaces du second degré, expriment d'autres propriétés plus ou moins intéressantes, relatives à la courbure de la surface S. Parmi ces propriétés, il en est une très-remarquable, qui a été le (1) Meusnier, dans le Mémoire sur la courbure des surfaces, la en 1776 et publié dans le volume des savans étrangers, tome 1, année 1785, a fait voir qu'on pouvait comparer tous les élémens de surfaces à l'élément de la surface du second degré, représentée par l'équation: cx2+zexy+fya ̧ 2 2 2 sujet d'un mémoire nouvellement publié (1). Un cylindre étant inscrit ou circonscrit à un hyperboloïde ou un ellipsoïde de révolution, on sait que la courbe de contact de ces surfaces est plane, et son plan, qui passe par le centre de la surface de révolution, est perpendiculaire au plan méridien parallèle à la droite génératrice du cylindre ; c'est sur cette propriété qu'est fondée la théorie des tangentes réciproques, que nous allons exposer. Des Tangentes réciproques sur un ellipsoïde ou un hyperboloïde de révolution. 16. Soit (fig. 11, pl. 2) ABCD l'ellipse, et ECF la demihyperbole qui tourne autour de l'axe A B pour engendrer l'ellipsoïde et l'hyperboloïde de révolution. Un cylindre circonscrit ou inscrit à chacune de ces surfaces la touche suivant une courbe. Pour trouver le plan de cette courbe, iniaginons par l'axe A B et par une droite parallèle à la génératrice du cylindre un plan, et supposons que ce plan soit horizontal et celui de la fig. (11). OG étant la parallèle à la génératrice du cylindre mené par le centre O de la surface, soient HL et KM les deux tangentes à l'ellipse ABCD parallèles à cette droite OG, qui touchent l'ellipse aux points Het K. Le diamètre HK est, sur le plan de cette courbe supposé horizontal, la trace du plan vertical qui contient la courbe de contact de l'ellipsoïde de révolution, et du cylindre circonscrit à cet ellipsoïde, dont la génératrice est parallèle au demi-diamètre O G conjugué au demi-diamètre O H. Cette courbe de contact est une ellipse qui a pour grand axe la droite (1) Voyez page 41 des Développemens de Géométrie, par M. Dupin, Paris, 1813. KOH, et pour petit axe une droite égale au petit axe CD de l'ellipse méridienne A B C D. Si l'on mène les deux tangentes à l'hyperbole L'H',K'M', parallèles à la droite OG, qui touchent cette hyperbole aux points K', H', le diamètre K' H' est, sur le plan de cette courbe, la trace du plan vertical qui contient la ligne de contact de l'hyperboloïde et du cylindre circonscrit. Cette ligne est une ellipse qui a pour grand axe la droite K'OH', et pour petit axe une droite égale à l'axe transversal CD de l'hyperbole méridienne A B C D. Cette propriété est une conséquence de la proposition démontrée dans ce traité des surfaces du second degré, page 231 ( Voyez aussi la Géométrie descriptive de Monge, art. 118), « qu'un cylindre ou un cône qui enveloppe une surface du second degré, la touche suivant une courbe plane. » Concevons maintenant que le sommet commun C de l'ellipse et de l'hyperbole ait tourné autour de l'axe AB d'un quart de révolution, et désignons-le dans sa nouvelle position par la lettre C'. Le plan tangent au point C' de l'ellipsoïde ou de l'hyperboloïde de révolution est évidemment parallèle au plan du méridien (AB CD). Une parallèle à la droite OG, menée par le point C', pourra être considérée comme la génératrice d'un cylindre circonscrit à l'ellipsoïde ou inscrit à l'hyperboloïde; or, les plans. K Het K'H' des courbes de contact de ces surfaces, coupent le plan tangent en C' suivant des parallèles à ces droites K Het K'H': donc ces parallèles sont des tangentes aux courbes de contact. Mais en considérant KH comme la parallèle à la génératrice d'un cylindre circonscrit à l'ellipsoïde de révolution, la droite de ce cylindre et la tangente à la courbe de contact qui se croisent au point C', seront respectivement parallèles aux |