de ces points autant de plans tangens à la surface qu'il y a de nappes, et chaque plan contient un nombre infini de tangentes à la surface qui passent par le point de contact. Ainsi, lorqu'on définit (art. 37) le plan tangent d'une surface, celui qui passe par deux tangentes, on suppose que le point de contact n'est pas multiple. La surface de la sphère n'a pas de points multiples, et le plan tangent mené par deux tangentes à la surface ne peut pas la couper, car il la couperait suivant un cercle qui serait touché au même point par deux droites; ce qui est impossible. Prenons pour un second exemple, un cylindre qui a pour section droite une courbe fermée à point double. Les deux tangentes à cette courbe menée par le point double, sont évidemment tangentes à la surface cylindrique, et néanmoins le plan conduit par ces deux tangentes est perpendiculaire aux arêtes du cylindre; mais on doit remarquer dans ce cas, la droite du cylindre menée par le point double de sa base, est l'intersection de deux nappes de ce cylindre et de deux plans tangens à ces nappes, qui passent par le point double. Il ne suffit donc pas qu'un plan passe par deux, ou un plus grand nombre de tangentes à une surface, pour qu'il soit tangent à cette que, surface; il faut qu'il en contienne un nombre infini, et l'existence d'un ou plusieurs plans en un point donné d'une surface quelconque, n'est démontrée qu'avec le secours de l'analyse algébrique. En géométrie, on doit considérer le point de contact d'une surface et d'un plan, comme la limite des sections de la surface par une série de plans parallèles au plan tangent, en admettant néanmoins que ce plan tangent peut contenir, outre le point de contact, une section entière appartenant à une autre série de courbes, qui sont situées dans des plans parallèles aux premiers. 41. En général, un plan tangent à une surface ne la touche qu'en un seul point; il n'y a d'exception à cette proposition que pour la surface développable qu'on a définie (art. 21), et qui est telle qu'un plan peut la toucher dans tous les points d'une droite prise à volonté sur cette surface. Le cylindre est un cas particulier des surfaces développables. Nous supposerons dans ce qui suit que le plan tangent à cette surface particulière soit déterminé par la tangente à une ligne courbe tracée sur cette surface ainsi qu'on l'a expliqué (art. 38). Des Tangentes aux courbes qui résultent de l'intersection des surfaces auxquelles on sait mener des plans tangens par des points pris sur ces surfaces. 42. La tangente en un point de la ligne d'intersection de deux surfaces est évidemment dans le plan qui touche chaque surface en ce même point; d'où il suit que cette tangente est la droite intersection de deux plans tangens. Lorsque l'une des deux surfaces est un plan, la tangente en un point quelconque de la courbe plane est l'intersection du plan tangent à la surface et du plan de la courbe. (Voyez les art. 68 et 84 des Recherches de Clairault sur les courbes à double courbure ). 43. La normale à une courbe qui résulte de l'intersection d'une surface et d'un plan étant (art. 5) perpendiculaire à la tangente élevée par le point de contact, elle est aussi la projection orthogonale de la normale à la surface au même point sur le plan de la courbe; car le plan qui passe par ces deux droites est en même temps perpendiculaire au plan tangent et au plan de la courbe: donc il est perpendiculaire à la droite intersection de ces deux plans cette droite est évidemment la tangente, d'où suit cette proposition: La normale en un point d'une courbe qui résulte de l'intersection d'une surface et d'un plan, est la projection orthogonale de la normale à la surface au même point sur le plan de la courbe. 44. La tangente à la courbe à double courbure qui résulte de la pénétration de deux surfaces, peut aussi être considérée comme une droite perpendiculaire aux normales des surfaces menées par le point où la tangente touche la courbe; mais lorsqu'une droite est perpendiculaire à deux autres droites, et que ces trois droites se croisent au même point, la première est perpendiculaire au plan des deux dernières (1) donc la tangente de la ligne d'intersection de deux surfaces courbes est perpendiculaire au plan mené par le point de contact, et par les deux normales aux surfaces qui passent par ce même point. (M. J. BINET. Correspondance, tom. III, pag. 199.) 45. Il suit de ce qui précède, que la détermination des tangentes aux courbes qui résultent de l'intersection des surfaces, dépend de (1) Géométrie de Legendre, Livre des Plans, page 139. la direction du plan tangent en un point quelconque de ces surfaces; mais lorsqu'une surface est définie (art. 19), le plan tangent en un point quelconque de cette surface est déterminé 1o. par la tangente à la génératrice qui passe par ce point; 2°. par la tangente à une autre courbe quelconque qui passerait par le même point. La construction de ces tangentes suppose donc la solution de ce problême: Connaissant la génération d'une surface, lui mener un plan tangent en un point donné? Nous allons d'abord résoudre cette question pour la surface réglée, et nous déduirons de cette solution une méthode générale pour déterminer le plan tangent à toute autre surface. (Art. 59.) Du Plan tangent à la surface réglée, et construction géométrique du point de contact. 46. Quelle que soit une surface réglée, les projections orthogonales des droites de cette surface sur un plan quelconque, sont tangentes à une courbe tracée sur ce plan, et cette courbe est la section droite d'un cylindre auquel toutes les droites de la surface réglée sont tangentes (art. 24). Un plan quelconque tangent au cylindre contient une droite du cylindre |