pantes. Comme il n'y a aucune courbe qui ne puisse être considérée et comme une développée, et comme l'arête de rebroussement d'une surface développable, il suit qu'une courbe quelconque a une infinité de développantes, toutes situées sur sa surface osculatrice. Nous allons considérer cette courbe comme une développante, et faire voir qu'elle a une infinité de développées.

De la Surface polaire d'une Courbe, et de son Aréte de rebroussement, lieu des centres de courbure sphérique.

83. M. Ayant mené par un point d'une courbe un plan normal à cette courbe, concevons que la courbe étant fixe, ce plan se meuve sans cesser d'être normal à la courbe deux plans normaux consécutifs se coupent suivant la droite polaire (art. 72 ) de l'élément de courbe qu'ils comprennent, et l'enveloppe de l'espace que le plan normal à la courbe parcourt est le lieu de toutes les droites polaires, et par conséquent de tous les poles de la courbe; c'est par cette raison que nous proposons de nommer cette enveloppe surface polaire de la courbe. Les droites polaires de la courbe sont

les tangentes de l'arête de rebroussement de la surface polaire. Chaque point de cette arête est l'intersection de deux droites polaires, ou de trois plans normaux consécutifs; elle est donc (art. 72) le lieu des centres de courbure sphérique des élémens de la courbe, ou des centres des sphères osculatrices, dont chacune passe par quatre points consécutifs de la courbe.

84. D'une courbe à double courbure quelconque, dérivent deux surfaces développables, l'une osculatrice et l'autre polaire : la première, lieu des tangentes de la courbe, est engendrée par le plan osculateur de cette courbe; la seconde, lieu des poles de la courbe, est engendrée par le plan normal. Il n'y a aucune droite de ces deux surfaces que l'on ne puisse construire géométriquement en faisant usage des principes exposés dans les paragraphes précédens (art. 56-78).

Construction géométrique des Centres de courbure sphérique des Courbes à double courbure.

85. Lorsqu'une courbe à double courbure est l'intersection de deux surfaces courbes auxquelles on sait mener des plans tangens par des points pris sur ces surfaces, il n'y a aucun

point de cette courbe pour lequel on ne puisse construire (art. 78) le plan osculateur, le cercle osculateur et la droite polaire qui correspondent à ce point. Or, la surface polaire a pour arête de rebroussement (art. 83) la ligne des centres de courbure sphérique de cette courbe: donc le plan normal en un point déterminé de cette courbe touche la surface polaire suivant une droite tangente à l'arête de rebroussement de cette surface, et le point de contact est le centre de courbure sphérique correspondant au point déterminé de la courbe. Pour construire ce point, on mènera par la droite polaire qui le contient un plan quelconque qui coupera toutes les autres droites polaires tangentes à l'arête de rebroussement de la surface polaire; joignant ces points par une courbe, elle sera tangente à la droite polaire située dans le plan de cette courbe (art. 46), et le point de contact sera le centre de courbure sphérique demandé. « Cette cons>>truction, rigoureuse en théorie, ne serait ad>> mise en géométrie descriptive qu'au défaut » d'une méthode plus rigoureuse et plus con» forme à ce principe, qu'un point est d'au» tant mieux déterminé par des opérations » graphiques, que l'angle des lignes qui se

>> croisent en ce point s'écarte moins de l'an»gle droit >>. Dans la construction précédente, cet angle est nul, puisque le centre de courbure sphérique est au point de contact d'une courbe et d'une droite située dans le plan de cette courbe; c'est pourquoi nous allons indiquer une autre construction qui se déduit des principes que nous avons établis précédemment, et qui nous a été communiquée (1).

86. Un plan quelconque mené par une droite d'une surface développable, coupe cette surface suivant une courbe tangente à la droite (art. 46), et par conséquent tous les plans tangens de la surface suivant des droites tangentes à cette courbe. Supposons que ces droites soient données dans un plan, elles sont tangentes à une même courbe qui n'est pas connue, mais chacune d'elles la touche en un point qu'il s'agit de construire. Pour résoudre cette question, on considérera les droites données dans un plan P comme les projections orthogonales des droites d'une surface réglée; et pour fixer un mode de génération de cette surface, on supposera, par exemple, qu'elle est engendrée par une droite constamment paral

(1) Par M. Chasles.

lèle au plan P, et de plus assujettie à passer par une droite arbitraire qui ne lui soit point parallèle.

Cela posé, soit D la droite polaire sur laquelle se trouve le centre de courbure sphérique qu'il s'agit de construire géométriquement. Un plan quelconque P mené par cette droite coupe les plans tangens à la surface polaire suivant des droites D', D", etc., tangentes à une courbe qui est elle-même tangente à l'arête de rebroussement; le point de contact de ces deux courbes est le centre de courbure sphérique situé sur la droite polaire D. Considérant ces droites D, D', D", etc., comme les projections des droites d'une surface réglée sur le plan P, un second plan P' perpendiculaire à celui-ci et mené par la droite D, coupé la surface réglée suivant une courbe; et pour construire cette courbe, on supposera que la génératrice de la surface réglée satisfait aux deux conditions, d'être parallèle au plan P, et de p ser par une droite arbitraire, qui néanmoins rencontre la droite D; alors le plan P' coupe la surface réglée suivant une courbe déterminée, facile à construire, et le point d'intersection de cette courbe par la droite D est le centre de courbure sphérique demandé.

pas