a2+ a22 + all2 =1, b3 + b′2 + b′′2 =1, c2 + c22 + c#^—1, ab+a'b'+a"b"=0, bc+b'c'+b"c"=o, ac+a'c'+allcl=o.)

Les trois dernières expriment que les trois axes des x', des y', des z' sont perpendiculaires entre eux.

Carrant les valeurs de x', y', 'z', et les ajoutant, on égalera à l'unité les coefficiens de x2, y2, z2, et à zéro les coefficiens des produits xy, yz, xz; ce qui donnera les six équations suivantes, dont les trois dernières expriment que les trois axes des x, des y, des, sont perpendiculaires entre eux :

R

(e)

a2 + b2 + c2=1, a'2 + b2 +c'2 =1, a42+b"^+c"2 =1, = 1; } (e") aa'+bb'+cco, a'a"+b'b"+c'c"l=o, aa"+bb" +cc"=0.) Elles sont équivalentes aux six premières, parce qu'elles expriment ainsi qu'elles l'identité des deux expressions x2+y2+z29√a^2+y12+312• On peut encore démontrer synthétiquement que ces deux systêmes d'équations sont équivalens.

2

83. Une sphère du rayon 1 étant rapportée à trois plans rectangulaires, qu'on regarde le centre de cette sphère comme le sommet d'une pyramide triangulaire formée par trois plans perpendiculaires entre eux. Supposons que les

points où les trois arêtes de cette pyramide coupent la surface de la sphère, aient pour coordonnées les neuf quantités a, a', a", b, b', b'', c, c', c". Nommons ces points A, B, C.

Soient a, a', a' les coordonnées du point A,

b, b', b' les coordonnées du point B,

c, c', c' les coordonnées du point C, on aura évidemment les trois équations: @2+a+a"2=1, b2+b22+bli2=1, c2+c22+c"2 = 1:

de plus, il est facile de voir que les rayons de la sphère menés par les points A, B, C font, avec les trois axes rectangulaires auxquels la surface de la sphère est rapportée, des angles dont les cosinus sont les coordonnées de ces mêmes points; d'où il suit (art. 14) qu'on a les équations de condition qui expriment que ces rayons, pris deux à deux, sont perpendiculaires entre eux :

ab+a'b'+a"b"—o, bc+b'c′+b"c"=0, ac+a'c'+a"c"=0.

84. Considérons maintenant les trois rayons passant par les points A, B, C comme les intersections de trois nouveaux plans rectangulaires auxquels on rapporte la surface de la sphère.

Les trois plans rectangulaires primitifs com

prennent entre eux une pyramide triangulaire dont les arêtes coupent la surface de la sphère en trois points. Désignons ces points par les lettres L, M, N, et supposons que leurs coordonnées soient,

De ces neuf coordonnées parallèles aux rayons passant par les points A, B, C, une quelconque a son égal parmi les neuf coordonnées des points A, B, C parallèles aux rayons passant par les points L, M, N. Désignant par O le centre de la sphère, formons le tableau suivant, dans lequel une lettre quelconque représente le cosinus de l'angle formé par les deux rayons que l'on a écrits sur les premières colonnes horisontale et verticale, et qui répondent à la case ou la lettre est placée.

A la seule inspection de ce tableau, on voit

Mais on a entre les coordonnées des points
L, M, N des équations semblables à celles qu'on
a trouvées (art. précédent) entre les coordon-
nées des points A, B, C; on aura donc les
six équations suivantes :

12 + 112 + 1"12 =1, m2 + m22 + m22 = 1, n2+n22 + n"/2 =1, Im+l'm' +l"m"=o, mn+m'n'+m"n"=o, In+l'n'+l"n"=0.

Substituant dans ces équations les identités données par le tableau, elles deviennent :

a2 + b2 + c2 = 1, a'2 + bl2 + c12=1, all2 + b2+cll2=1, au'+bb'+ cc'=o, a'a"+b'b" + c'c" =o, aa"+bb" +cc" =0.

Les identités données par le tableau résultent de ce que les deux côtés d'un angle étant égaux, les perpendiculaires abaissées de l'extrémité du premier côté sur le second, ou de l'extrémité du second côté sur le premier, sont égales entre elles; ce qui est évident, puisque les côtés de l'angle et les perpendiculaires à ces côtés, forment deux triangles rectangles égaux.

85. Les six équations de condition (e) ou (e') (art. 82) réduisent à trois le nombre de

constantes nécessaires pour passer d'un systême de coordonnées rectangulaires à un système. d'autres coordonnées rectangulaires. x, y, z, étant les coordonnées d'un point dans le premier systême, x, y, z les coordonnées de ce point dans le second systême, on a (art. 80 et 81) entre ces coordonnées les relations suivantes :

Les neuf constantes qui entrent dans ces équations étant liées entre elles par six équations de condition, ces formules deviendront d'un usage plus commode, lorsque les coefficiens de

་

', y, z dans les valeurs de x, y, z, ou les coefficiens de x, y, z dans les valeurs de x', y', z', seront exprimés au moyen de sinus et cosinus de trois angles indépendans.

Autres Formules pour le changement des coordonnées rectangulaires en d'autres coordonnécs rectangulaires.

86. Les axes des x et des y sont dans un plan qui coupe le plan des xy suivant une