visée en deux parties égales, le point milieu appartient au plan diamétral qui divise en deux parties égales toutes les cordes de la surface parallèles à la droite xlz, y=mz; soient x, y, z les coordonnées de ce point milieu, on a évidemment :

Substituant ces valeurs dans l'équation (1), elle devient :

pe+mp'y-2lpp'=0.

(h)

Cette équation ne contenant pas la variable x, on doit conclure que tous les plans diamétraux de la surface du second degré qui n'a pas de centre, sont perpendiculaires au plan des yz; un second plan diamétral qui diviserait en deux parties égales les cordes parallèles à une droite des équations xlz, y=m'z, aurait pour équation:

pz + m'p'y a l'pp'=0.

(h')

Supposons que le second plan diamétral soit parallèle aux cordes que le premier divise en parties égales; et réciproquement, que le premier soit parallèle aux cordes que le second divise en parties égales, on aura l'équation de condition :

pmm'p'o.

(hi)

Cette équation étant satisfaite, les deux plans diamétraux qui ont pour équations (h) et (h'), se coupent suivant une droite parallèle à l'axe des x, qui rencontre, la surface en un point; ayant pris ce point pour origine des coordonnées, et menant par cette origine, des parallèles aux cordes que les plans diamétraux divisent en parties égales, ces deux parallèles et la parallèle à l'axe des x, sont les axes d'un systême de coordonnées obliques, tel qu'en y rapportant la surface, l'équation sera de la même forme que l'équation (ƒ). Nommant la coordonnée parallèle à l'axe primitif des ; u et v les coordonnées parallèles aux cordes que les plans diamétraux divisent en parties égales, on aura

:

équation de la surface, dans laquelle et sont les coefficiens constans de u et.

Le plan tangent à la surface, mené par l'origine des coordonnées obliques coupe les plans diamétraux représentés par les équations (h) et (h'), suivant des droites qui sont les axes des coordonnées u et v. Lorsque ces plans sont

perpendiculaires entre eux, on a (art. 28), pour équation de condition:

p2 + mm'p' = 0;

ou à cause de l'équation (h"):

mm' (p-p') = 0.

Cette équation est satisfaite de trois manières, en faisant, 1o. m=0, 2o. m'=0, 5o. p-p'=o. On a mo, ou m': =0, selon l'axe des u, ou l'axe des v se confond avec l'axe des z.

que

Dans le cas particulier où l'on aurait p=p', Féquation mm (pp) o serait satisfaite, quelle que fut la valeur de m ou m'. Ce qui signifie que la surface du second degré est de révolution, et que tous les plans passant par l'axe de révolution divisent en deux parties égales les cordes de la surface, perpendiculaires à ces plans. En général, les surfaces du second degré, dont le centre est à l'infini, n'ont que deux plans diamétraux perpendiculaires aux cordes que ces plans divisent en parties égales; elles n'ont qu'un seul sommet réel qui est sur la normale intersection de ces plans diamétraux.

Des Caractères auxquels on peut reconnaître qu'une Equation du second degré à trois variables représente une surface de révoAlution.

114. On pourrait s'assurer à priori qu'une courbe du second degré, en tournant autour de l'un de ses axes principaux, engendrerait une surface du second degré. L'équation de cette surface serait nécessairement comprise dans l'équation générale (art. 95):

(1) {

At+A'u+A"2

+2Buv+2B'vt+2B"tu+2€t+2C1t+2C",

}=K.

On propose de trouver les relations qui existent entre les coefficiens constans de cette équation, pour qu'elle représente une surface de révolution ?

Pour résoudre cette question, nous remarquerons que l'axe de révolution d'une surface du second degré ne diffère pas de l'un des trois axes principaux de cette surface, dont on a déterminé (art. 99.) la direction au moyen des deux équations suivantes (g):

Aλ + В"μ+ B' = λ ( B'λ + B μ+A"), (5,1)
B"λ+ A'μe + B = μ ( Ẹ' λ + B μ+A"), (5,2)

f=ar, u=μ étant les équations de l'axe principal, ou d'une parallèle à cet axe.

En effet, supposons que la surface du second degré ait un axe de révolution; deux plans quelconques perpendiculaires entre eux, qui passent par cet axe, sont conjugués au plan diamétral perpendiculaire à cet axe; or, des trois droites intersections de trois plans diamétraux perpendiculaires et conjugués entre eux, l'une d'elles est un axe principal de la surface; donc, cet axe, et l'axe de révolution s'il existe, doivent coïncider.

Prenant cet axe de révolution pour l'un des trois axes principaux, les deux autres axes sont indéterminés, puisqu'ils peuvent tourner dans le plan diamétral perpendiculaire à l'axe de révolution.

données H,

Les valeurs de a et par les équations (g) ne peuvent être indéterminées que dans le cas où ces équations ont un facteur commun; or, chacune d'elles a un facteur linéaire qui donne la valeur de à ou de μ correspondant à l'axe de révolution; donc le facteur commun aux deux équations, est linéaire. Ce facteur commun doit exprimer que les deux autres axes principaux sont dans un plan perpendiculaire à l'axe de révolution.