Soient et m les constantes qui déterminent la direction de l'axe de révolution, ensorte que cet axe, ou sa parallèle, ait pour équations : t=lv, u=mv. Soient, de plus, t=λv, u=μV, les équations de l'un des trois axes principaux, perpendiculaire à l'axe de révolution; ces deux axes étant perpendiculaires entre eux, on a pour condition (art. 13): Les équations (g), d'où l'on doit tirer la valeur l de λ, et la valeur m de doivent donc être identiques avec les équations suivantes : (x-1)(r+}+mp)=0, (g',1) (p=m)(x+h+ma)=0. (g',2) En identifiant ces équations, on détermine les valeurs des constantes let m, et on obtient les équations de condition qui expriment que l'équation (1) appartient à une surface de révolution. Pour comparer les équations (g) et (g'), écrivons-les ainsi : Identifiant, terme à terme, les équations (g, 1) et (g', x), (g, 2) et (g', 2), on a six équations de condition qui se réduisent aux quatre suivantes : d'où il suit que l'axe de révolution, s'il existe pu sa parallèle, a pour équations: et cet axe existera, lorsque les équations de condition suivantes seront satisfaites: BB" (AA) —— B' ( B"3 —— B2 ) = 0, (a) (b). La direction de l'axe de révolution ne dépend que des trois coefficiens B, B', 'B". Il est facile de voir que si l'équation (1) est privée d'un seul des rectangles uv, vt, tu, la surface ne peut être de révolution; car, en supposant Bo, par exemple, on aurait B'B" 0, qui donne ou B'o, ou B" 0; = c'est-à-dire que deux rectangles disparaîtraient, ce qui est contre l'hypothèse. = Supposons maintenant deux des trois coef ficiens B, B', B" puls; soient, par exemple, B=0, B'=o, on tirerait des équations (a) et (?) ? Dans ce cas, l'axe de révolution serait parallèle au plan des (tu), et les deux équations (a) et (b) se réduiraient à celle-ci : B"1 = { 4" — A ) ( A" — A' ). Si on suppose de plus Bo, cette dernière équation fait voir qu'on a nécessairement ou AA, ou A'A'; c'est-à-dire que lorsque les trois rectangles uv, vt, tu manquent dans l'équation générale, la surface ne peut être de révolution, à moins que deux des trois coefficiens A, A', A"! ne soient égaux et de même signe. Cette condition étant satisfaite l'axe de révolution se confondra avec l'un des axes des coordonnées t, u, v, ou avec une parallèle à cet axe, qui, dans ce cas, (art. 111) est ellemême parallèle à l'un des axes principaux (*). L'axe de révolution doit passer par le centre de la surface, dont les coordonnées a, ß, y (art. 97) sont connues; d'où il suit que cet axe a pour équations : () Voyez la Correspondance sur l'École Polytechnique article de M. Bourdon, tom. II, pag. 196. S IV. De la Génération des Surfaces du second degré, et des Sections principales de ces Surfaces. De l'Ellipsoïde. 115. L'ellipsoïde ayant (art. 109) pour équa tion : b2c2x2 + c2a2y2 + a2b3z2 = a2b1c1‚' 0, on aura, en faisant successivement y=0,x=0, les équations suivantes des trois sections principales : (1) b2x2 + a2y2 = cab”, (2) (3) c?x2 + a2z2 = α2c3, c2y2 + b2z2 = b2c2, Ayant mené trois droites perpendiculaires entre elles (fig. 1, Pl. 2) SS, S'S'"', S1S▾ qui se coupent en un point (O, O'), on prendra sur ces droites, à partir du point ( O, O') des parties égales aux demi-diamètres principaux de la surface a, b, c, et on construira des ellipses qui aient pour demi-diamètres principaux, deux des trois quantités a, b, c. La première ellipse SS'S"S" situće dans le plan des xy a pour équation (1): b2x2 + a'y2 = a2b3. Les équations (2) et (5) appartiennent aux ellipses SS'SIS et SSSIVSV situées dans les plans des xz et des yz. Lorsque deux des trois diamètres principaux 2a, 2b, 2c sont égaux entre eux, l'ellipsoïde est de revolution autour du troisième diamètre. Enfin, lorsque ces trois diamètres sont égaux entre eux, l'ellipsoïde devient une sphère. De l'Hyperboloide à une nappe. 116, Soient (fig. 2, Pl. 2) les trois droites rectangulaires SS', SS, SS qui ont pour longueurs, les diamètres principaux réels 2a, 2b, 2c d'un ellipsoïde. L'ellipse SS'S"S" construite sur les droites 2a, 2b, comme diamètres principaux, et les hyperboles qui ont pour axes principaux l'une les droites SS', SIVSV égales à 2a et 2c, et l'autre les droites S"S!", S1VSV égales à 2b et 2c, sont les trois sections principales de l'hyperboloïde à une nappe. Cette surface ayant (art. 109) pour équa |