avec l'axe des z un angle t'O"h" égal à l'angle

le plan des xz, suivant les tangentes f'g', h'k', I'm..... de la parabole Sf'h'l.

S V.

De quelques propriétés des Surfaces du second degré.

139. THÉORÊME. Étant donnés un cercle d'une surface du second degré, et un point d'un second cercle de la même surface, second cercle est tout entier sur la sphère qui passe par le cercle et le point donné?

ce

Démonstration. L'intersection de deux surfaces du second degré est en général une ligne dont les projections sont des courbes du quatrième degré; mais dans le cas particulier où les deux surfaces du second degré passent par la même courbe plane, leur ligne d'intersection est le systême de deux courbes planes; d'où il suit qu'une sphère et une surface du second degré qui passent par le même cercle, se coupent suivant une autre courbe plane, et

le plan de cette courbe coupe la sphère suivant un second cercle. Donc, deux des cercles d'une surface du second degré appartiennent à une sphère dont le centre et le rayon sont déterminés. Lorsque les deux cercles ne sont pas situés dans des plans parallèles, on les nomme sections sous-contraires de la surface du second degré. On n'avait considéré jusqu'à présent que les sections sous-contraires du cône oblique. Soient (fig. 1, Pl. 3) ABC le cercle base d'un cône oblique; AsB le diamètre de ce cercle qui passe par la projection s du sommet S du cône sur le plan de la base. La sphère du diamètre AB coupe le cône suivant les cercles des diamètres AB, ab, dont les plans sont perpendiculaires au plan du triangle ASSB. Il est de plus évident que les côtés SA, SB de ce triangle (qu'on nomme section principale du cóne oblique), font avec les plans de l'une des sections circulaires, des angles inégaux entre eux, et égaux aux angles que ces mêmes côtés font avec le plan de l'autre section circulaire. Ainsi on a:

angle SABangle Sab, Soit (fig. 2, Pl. 3) pale d'un cône oblique,

angle SBA = angle Sba. Sab la section princiqui a son sommet au

point S de la sphère, et dont la base est un cercle quelconque de cette sphère, qui a pour diamètre, la droite ab. Ayant mené par le sommet de ce cône, le rayon SO de la sphère, le plan díamétral AB perpendiculaire à ce rayon fait avec les côtés Sa, Sb de la section principale du cône, des angles Sa'b', Sb'a' égaux aux angles Sab, Sba; d'où il suit que ce plan diamétral coupe le cône oblique suivant un cercle du diamètre a'b'.

140. THEOREME. La surface conique qui à pour base une section plane d'un ellipsoïde, et pour sommet l'extrémité de l'un des deux diamètres qui passent par les centres des sections circulaires de cet ellipsoïde, est coupée suivant un cercle, par tous les plans menés pa→ rallèlement à la section, circulaire dont le centre est sur le diamètre à l'extrémité duquel on a placé le sommet de la surface conique?

Démonstration. Soient (fig. 3, Pl. 3) OS le rayon d'une sphère dont le centre est au point O, et AA' un plan diamétral perpendiculaire à ce rayon. Concevons que de tous les points de la sphère, on ait abaissé des perpendiculaires sur le plan diamétral AA', et que par los pieds de ces perpendiculaires, on

ait mené des droites parallèles entre elles, et proportionnelles à ces perpendiculaires; on transformera, par cette projection oblique, la sphère en un ellipsoïde, dont les trois diamètres principaux rectangulaires dépendront 1o. du rayon de la sphère; 2°. de l'angle des perpendiculaires au plan diametral AA et des obliques sur lesquelles on les projette; 3o. du rapport de l'une quelconque des perpendiculaires et de l'oblique sur laquelle on la projette. Soit OT la droite sur laquelle on a porté le rayon OS, après l'avoir augmenté d'une quantité Tt, qui détermine le rapport du rayon OS et de sa projection oblique OT. Le plan SOT qui rencontre le plan diamétral AA' suivant un diamètre AA' de la sphère, coupe. cette sphère suivant le cercle SAA'R; ce cercle projetté obliquement se transforme en une ellipse qui a pour diamètres conjugués AOA', TOP ou les droites égales aOa', T'OP'. La droite BC qui divise en parties égales les angles POP', A'Oa', est dirigée suivant le grand axe de l'ellipse; d'où il suit que l'ellipsoïde qui résulte de la projection oblique de la sphère, a pour diamètres principaux rectangulaires les droites BOC, DOE et SOR.

La première de ces droites est le plus grand

diamètre; la seconde DOE est le plus petit; et la troisième ROS, égale au diamètre de la sphère, est le diamètre moyen de l'ellipsoïde. La sphère du rayon OA' coupe cet ellipsoïde suivant des grands cercles dont les plans OA', Oa' passent (art. 126) par l'axe moyen ROS. Ayant déja mené la droite P'OT', telle que l'angle aOT' soit égal à l'angle AOT, on peut concevoir que de tous les points de la sphère du diamètre aa' AA', on ait abaissé des perpendiculaires sur le plan diamétral aa'; que par les pieds des perpendiculaires, on ait mené des parallèles à la droite OT', proportionnelles à ces perpendiculaires; l'extrémité s du rayon Os, perpendiculaire au diamètre de la sphère aОa', se projettera en un point T de la droite OT, et si l'on suppose le rapport de Os à OT' égal au rapport de OS à OT, la sphère deviendra, par la seconde projection comme par la première, l'ellipsoïde qui a pour diamètres principaux les droites BC, DE, RS.

Cela posé, considérons le point S de la sphère comme le sommet d'un cône oblique qui a pour base un cercle quelconque C de cette sphère. Projettant obliquement tous les points de ce cône, comme on a projetté tous les points de la sphère pour former l'ellipsoïde,