dont trois seulement sont nécessaires ; substituant ces valeurs dans l'équation (2), elle devient :

Lx+My+Nz = K.

Dans chaque cas particulier, on détermine les constantes L, M, N, K du plan, d'après les conditions qui fixent la position de ce plan par rapport aux axes des coordonnées. Par exemple, demande-t-on l'équation d'un plan parallèle au plan des yz: pour tous les points de ce plan, on a x constante, quelles que soient les valeurs de y et de z; faisant donc M=0, No, la valeur constante de x

Lorsque le plan passe par l'origine des coordonnées, on a Ko; et l'équation du plan se réduit à la forme :

Lx+My+Nz ≈ 0.

17. De l'équation du plan Lo+My+Nz=K, on tirera les équations de ses traces sur les plans des xz et des yz, en faisant successivement y=0, x = 0.

Soit, 1o. y0,

les équations de la trace sur le plan des e

seront

Lx+Nz=K,

y= 0.

Soit, 2°. x=0,

les équations de la trace sur le plan des y

seront :

MyNzK,

Des équations de ces deux traces on pourra revenir à l'équation du plan; en effet, les équations d'une parallèle à la première trace, seront (6):

L'équation de condition qui exprime que cette parallèle rencontre la seconde trace donnée sur le plan des yz, sera:

MB + Na K.

Regardant la parallèle à la première trace comme la génératrice du plan, les équations de cette génératrice, dans une position quel¬ conque, dépendant de ß, seront :

éliminant

entre ces deux équations, l'équa

tion du plan, déduite des équations de ses

traces sur les plans des xz et des yz, sera:

Lx + My + Nz = K.

18. L'équation du plan étant linéaire entre les trois coordonnées x, y, z d'un point de ce plan, la ligne commune à deux plans est nécessairement une droite; d'où il suit qu'on peut définir le plan une surface sur laquelle on peut tracer une ligne droite dans tous les

en éliminant successivement x, y, z, on déduit de ces deux équations, trois autres équations dont chacune ne contient que deux coordonnées, et qui appartiennent aux projections de la droite d'intersection des deux plans, sur les trois plans des coordonnées,

Deux plans parallèles ont des traces parallèles sur les plans des coordonnées; les relations entre les constantes des équations des deux plans, qui résultent de ce parallélisme, sont (7):

Problemes relatifs au plan.

PROBL. I.

19. On demande les équations d'un plan qui soit parallèle à un autre plan donné, et qui passe par un point connu?

Solution. Soient a', y', ' les coordonnées du point dont la position est connue ;.. Ax+By+C3D=o l'équation du plan Cz donné, Lx+My+Nz — K = o l'équation du plan demandé.

Des quatre constantes L, M, N, K, on détermine d'abord la quatrième K d'après la condition que le plan passe par le point donné. Pour ce point, les coordonnées x, y, z du plan demandé deviennent x', y', '; donc on a : Lx' +My+Nz' — K = 0,

et en retranchant cette équation de la précédente:

L ( x − x' ) + M ( y − y' ) + N (z — 2′ ) = 0, le plan donné et le plan demandé étant parallèles, on a (18):

Substituant ces valeurs dans la dernière équation, elle devient :

A(x − x') + B ( y −y') + C( z − z') = 0,

équation du plan qui passe par le point donné, et qui est parallèle au plan Ax+By+Cz−D=0.

PROBE. II.

20. On demande l'équation d'un plan qui passe par trois points donnés dans l'espace? Solution. Soient les coordonnées des points

Les coordonnées x, y, z d'un point quelconque du plan devenant successivement celles des points donnés, on aura évidemment les trois équations suivantes :