π

Man construire ein, zu dem betrachteten geradlinigen Viereck mit den Winkeln an, ẞx, yx, da ähnliches Viereck, dessen der Ecke a entsprechende Ecke a' mit dem Punkte 0, dessen der Ecke ß entsprechende Ecke ẞ' mit dem Punkte +1 zusammenfällt. Die der Ecke 7 entsprechende Ecke ' dieses Vierecks stellt den Werth der complexen Grösse w geometrisch dar.

Wenn der Werth der Grösse 2 dem Intervalle +1 angehört, so ist die Aufeinanderfolge der Ecken des betrachteten Vierecks aẞdy, und die Ecke y' liegt auf einer durch den Punkt 0 gehenden Geraden, die mit der Strecke 0...1 den Winkel an einschliesst.

Liegt der Werth der Grösse in dem Intervalle 0... -∞0, so folgen die Ecken des Vierecks auf einander wie daßy; die Ecke y' liegt daher in diesem Falle auf einer durch den Punkt +1 gehenden Geraden, mit welcher die Strecke 10 den Winkel ẞr einschliesst.

z

Diese beiden Geraden schneiden sich, da der Voraussetzung zufolge a+ẞ kleiner als 1 ist, in einem Punkte k, welcher den Werth der Grösse w für ∞ darstellt; für diesen Werth geht das geradlinige Viereck, auf welches die Halbebene (x) im Allgemeinen abgebildet wird, in das geradlinige Dreieck 01k über. Falle a β sind die beiden Geraden parallel und der Richtung der Strecke 0...+i im Unendlichen.)

(In dem

liegt in

Wenn dem Intervalle 10 angehört und demnach die Ecken des Vierecks in der Reihenfolge adßy auf einander folgen, so ist der geometrische Ort der Ecke y' ein über der Strecke 0・・・ 1 auf deren

Υπ

positiver Seite errichteter Kreisbogen, welcher den Winkel yn als Peripheriewinkel fasst.

Der Punkt k liegt ausserhalb des durch den Kreisbogen und die Strecke 0 1 begrenzten Kreisabschnittes, denn es ist

α

also ist der Winkel yn grösser als der Winkel 0k1, der gleich [1-(a+ẞ)]π ist. Der Kreisbogen schneidet daher von der Fläche des Dreiecks 01k ein Stück ab, welches der Fläche des Kreisabschnittes angehört; das von der Fläche des Dreiecks übrig bleibende Stück, das Kreisbogendreieck klm, ist das Gebiet W der complexen Grösse w. (Siehe Fig. 6 auf Seite 99.)

Man überzeugt sich nämlich, dass die Punkte 7 und m, mögen sie nun mit den Punkten 0 und 1 zusammenfallen oder nicht, die Werthe der Grösse w für die Werthe z 1 und 20 geometrisch darstellen. Für beide Werthe hört das geradlinige Viereck, auf welches im Allgemeinen die Halbebene (x) abgebildet wird, auf, ein eigentliches Viereck zu sein, und geht in je eins der Dreiecke 017, 01m über, wenn es solche von 0 und 1 verschiedene Schnittpunkte und m des Kreisbogens mit den Geraden Ok und 1k gibt. Aber auch für den Fall, dass mit 0, m mit 1 zusammenfällt, überzeugt man sich, dass diese Werthe die wahren Werthe der Grösse w für die Werthe ≈ = 1 und z O sind.

Während die Axe des Reellen von +∞o bis ∞ durchläuft, bewegt sich der die Grösse w geometrisch darstellende Punkt auf der Begrenzung des angegebenen Flächenstückes W stets in dem Sinne klm.

Dies kann mit Hülfe des folgenden Satzes bewiesen werden:

Wenn bei der conformen Abbildung der Fläche einer Halbebene auf die Fläche eines geradlinigen Vierecks die drei, Eckpunkten desselben entsprechenden Punkte 0, 1, ∞ festgehalten werden und der dem vierten Eckpunkte entsprechende Punkt sich innerhalb eines der drei Intervalle +∞ 1, 1 . . . 0, 0. 0... ∞ und zwar stets in demselben Sinne bewegt, so ändert sich während dieser Bewegung der Grösse z innerhalb eines dieser drei Intervalle das Verhältniss der Längen je zweier anstossenden Seiten des Vierecks stets in demselben Sinne.

Aus den angestellten Betrachtungen folgt, dass durch die analytische Function w des Argumentes die auf der

negativen Seite der Axe des Reellen liegende Halbebene () conform auf das Innere W des Kreisbogendreiecks klm abgebildet wird, wie auch aus der Theorie der conformen Abbildung der Fläche einer Halbebene auf die Fläche eines Kreisbogendreiecks geschlossen werden kann. Weil die Begrenzungslinie des Gebietes W eine einfache Linie ist, so ist auch umgekehrt die conforme Abbildung der Figur W auf die Fläche der Halbebene eine eindeutige: Jedem Punkte innerhalb des Kreisbogendreiecks klm entspricht ein und nur ein Werth der Grösse z.

Es ist noch der Nachweis zu führen, dass der vorgeschriebene
AC
innerhalb des Gebietes
AB

Werth

W liegt.

A,C,

w, des Quotienten w

Man construire ein Dreieck 01w, ähnlich dem Dreieck AB ̧é̟1. Weil die Winkel des Dreiecks A,B,C, beziehlich kleiner als aл, ẞл, yл sind, so ist

arc 10w,

0

1

Von diesen drei Ungleichheiten beweisen die beiden ersten, dass der Punkt w innerhalb des Dreiecks 01k liegt und die letzte, dass derselbe ausserhalb der Fläche des über der Strecke 01 construirten Kreisabschnittes liegt, der den Winkel yn fasst. (Siehe Fig. 6 auf S. 99.) Folglich liegt der gegebene Werth w. der Grösse w in dem Gebiete W des Quotienten der beiden bestimmten Integrale und es gibt nur einen Werth 2, der Grösse für den die Grösse w den Werth w, annimmt.

entspricht, ist also dem gegebenen ähnlich. Durch geeignete Bestimmung der Constante C kann bewirkt werden, dass beide Tetraeder auch der Grösse nach übereinstimmen.

Die Aufgabe der conformen Abbildung der Oberfläche eines Tetraeders auf die Oberfläche einer Kugel mit der Bedingung, dass die Punkte beider Flächen einander eindeutig entsprechen sollen, ist also stets lösbar, und zwar lässt diese Aufgabe nur eine Lösung zu, wenn festgesetzt wird, dass drei gegebenen Punkten der einen Fläche beziehlich drei gegebene Punkte der andern entsprechen sollen.

Halle an der Saale, im September 1868.

Notizia sulla rappresentazione conforme di un'

area ellittica sopra un' area circolare.

Annali di Matematica pura ed applicata, IIa serie, tomo IIIo, pag. 166-170,

Nella sua dissertazione inaugurale (Annali di Matematica Ia serie, tomo IIo) Riemann enunciò il teorema, come sia sempre possibile di rappresentare la superficie di una figura semplicemente connessa (U) sopra di un circolo (S), conservando la connessione e la simiglianza nelle parti infinitesime, e ciò soltanto in una maniera, quando si voglia che al centro corrisponda un punto interno fissato ad arbitrio, e ad un punto qualsivoglia della circonferenza un punto del contorno di quella figura, pure dato arbitrariamente.

La rappresentazione conforme della figura U sul circolo S si compie mediante una funzione analitica di variabile complessa s = f(u), indicando ogni valore determinato dell' argomento ux+yi la posizione di un punto determinato nell' interno della figura U, ed il valore corrispondente s della funzione la posizione del punto omologo nell'interno di S.

La funzione analitica f(u) dipende dalla forma del contorno della figura U, dalla posizione dei punti di diramazione nell' interno della medesima ed inoltre da tre costanti; e propriamente alla soluzione completa dell' indicato problema basta la conoscenza di una funzione

S

f(u), mediante la quale si rappresenti la superficie della figura U sopra la superficie di un circolo S. Infatti, se si rappresenta l'interno della stessa figura U mediante due funzioni s ed s' sopra l'interno di due circoli S ed S', ciascuna delle due funzioni s ed s'è una funzione razionale di primo grado dell' altra; basta adunque trovare in ogni caso particolare una unica soluzione e determinare convenientemente le tre costanti.

La determinazione effettiva della funzione rappresentatrice non riuscì sino ad ora che in alcuni casi particolari.

Nella memoria del sig. Christoffel: Sul problema delle temperature stazionarie e la rappresentazione di una data superficie (Annali di Matematica, IIa serie, tomo Io), il problema della rappresentazione della superficie di un circolo sulla superficie di un poligono limitato da segmenti rettilinei è ridotto ad una quadratura ed alla determinazione di un numero finito di costanti. In modo analogo si può ridurre il problema di rappresentare una area circolare sopra una figura limitata da archi circolari alla soluzione di una equazione differenziale ordinaria ed alla determinazione di un numero finito di costanti. Riguardo a ciò si veda una memoria contenuta nel giornale di Borchardt, tomo 70, Ueber einige Abbildungsaufgaben.*)

La presente nota ha per oggetto la soluzione del problema indicato, quando il contorno della figura U è una ellisse. Sia data nel piano, i cui punti rappresentano geometricamente i valori della quantità complessa ux+yi, una ellisse, i cui fuochi siano i punti U +1 e u 1 ed i cui semi-assi maggiore e minore siano

eguali ad a e b.

Si imagini tagliata rettilineamente quest' area ellittica lungo l'asse maggiore dai fuochi sino ai vertici, cioè dal punto u +1 al punto u = +a e dal punto u = -1 al punto u-a, a, e si rappresenti l'interno della superficie semplicemente connessa, in tal guisa ottenuta, mediante la funzione analitica.

sul piano (v). Il campo della variabile complessa v è l'interno di un rettangolo, i punti di mezzo dei cui lati corrispondono ai valori

V

1 2

+ π,

2

+ log. **) Se ora si rappresenta l'interno di questo rettangolo mediante la funzione

S sen am (2 v)

scelto secondo le seguenti con

sul piano (s), essendo il modulo dizioni

*) Si veda pag. 78 del presente volume.

**) Si veda una memoria del sig. Siebeck nel Giornale di Crelle-Borchardt, tomo 55, pag.246-252 e: Casorati, Teorica delle funzioni di variabili complesse, pag. 243-245.