Beweise Gebrauch gemacht wird, lassen sich wie folgt zusammen

fassen:

„Eine für alle Werthepaare zweier stetig veränderlichen, reellen Variablen, x, y, welche einer stetigen, zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit angehören, eindeutig erklärte Function f(x, y) besitzt zwei partielle Ableitungen erster Ordnung

Jede dieser drei Ableitungen ist eine eindeutige und stetige Function ihrer beiden Argumente."

Die Gesammtheit dieser Voraussetzungen hat die Geltung des Satzes

1,2

zur Folge. Wird hingegen die Voraussetzung der Stetigkeit der Ableitung f12(x, y) fallen gelassen, so kann aus den übrigen Voraussetzungen allein die Geltung des erwähnten Satzes nicht mehr geschlossen werden.

Ueber diejenigen algebraischen Gleichungen zwischen zwei veränderlichen Grössen, welche eine Schaar rationaler, eindeutig umkehrbarer Transformationen in sich selbst zulassen.

Journal für reine und angewandte Mathematik, Band 87, Seite 139-145.

Der vorliegende Aufsatz hat folgendes Theorem zum Gegenstande: Wenn eine unzerlegbare algebraische Gleichung zwischen zwei veränderlichen Grössen die Eigenschaft hat, durch eine Schaar rationaler, eindeutig umkehrbarer Transformationen in sich selbst überzugehen, so ist die Anzahl der von einander linear unabhängigen, allenthalben endlich bleibenden Integralfunctionen, welche ebenso verzweigt sind, wie die mit der betrachteten Gleichung im Riemannschen Sinne zu derselben Klasse gehörenden algebraischen Functionen, entweder gleich O oder gleich 1; mit anderen Worten: die betrachtete algebraische Gleichung ist vom Range 0 oder vom Range 1.

Der Beweis, den ich im Nachfolgenden für dieses Theorem mittheile, um bei einer anderen Untersuchung *) auf dasselbe mich berufen zu können, gründet sich auf die Betrachtung einer Riemannschen Fläche, durch welche die Verzweigung der erwähnten algebraischen Functionen geometrisch dargestellt werden kann. In Rücksicht hierauf gebe ich dem zu beweisenden Theoreme folgende Fassung: Wenn eine geschlossene Riemannsche Fläche durch Vermittelung einer Schaar von Functionen auf sich selbst eindeutig, zusammenhängend und in den kleinsten Theilen ähnlich abgebildet werden kann, so ist dieselbe entweder einfach oder dreifach zusammenhängend.

Es sei F(s, 2) 0 eine unzerlegbare algebraische Gleichung

*) Siehe S. 209 des ersten Bandes der vorliegenden Ausgabe.

zwischen den beiden veränderlichen Grössen s und, welche die Eigenschaft besitzt, durch eine Schaar rationaler Transformationen

19

in sich selbst, d. h. in die Gleichung F(s1, 0 überzugehen. Die Grössen s, 2 sind hierbei voraussetzungsgemäss rationale Functionen der Grössen s,,, und analytische Functionen der Grösse «, des Parameters der Schaar. Ferner werde vorausgesetzt, dass auch umgekehrt die Grössen s, und &, als rationale Functionen der Grössen s und z

dargestellt werden können. Die Coefficienten dieser rationalen Functionen sind dann analytische Functionen des Parameters c.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass die identische Transformation

zu der betrachteten Schaar von Transformationen gehöre und zwar für einen nicht singulären Werth des Parameters der Schaar. Denn, bezeichnet a' einen nicht singulären Werth des Parameters «, so besteht erstens zwischen den Grössen

rational durchs' und ' ausdrückbar, mithin auch s1 und 2,.

1°

$ s', z z' setzen und der Ein

Nun kann man von Anfang an fachheit des Ausdruckes wegen die Annahme machen, dass a' den Werth O habe. Unter dieser Voraussetzung werden sich für unendlich kleine Werthe von a und für nicht singuläre Werthe von s und z die Grössen s, und 2, nur unendlich wenig von s und unterscheiden. Wenn daher der, die complexe Grösse geometrisch darstellende Punkt einen Periodenweg beschreibt, so wird auch der, die complexe

Grösse, geometrisch darstellende Punkt einen Periodenweg beschreiben, und zwar einen solchen, welcher auf den Periodenweg, den die Variable beschrieben hat, reducirbar ist. Man kann nämlich den Periodenweg von stets so wählen, dass derselbe durch singuläre Werthe nicht hindurchgeht und die Veränderlichkeit von α auf so kleine Werthe beschränken falls dies nöthig sein sollte, dass auch die Linie, welche der die complexe Grösse 2, geometrisch darstellende Punkt beschreibt, keinen der singulären Werthe überschreitet.

T

1

Es sei nun 7 die über der z-Ebene ausgebreitete Riemann sche Fläche, welche die Verzweigung der algebraischen Functions des complexen Argumentes geometrisch darstellt. Man denke sich die Fläche T, falls dieselbe nicht einfach zusammenhängend ist, durch 2p Querschnitte in eine einfach zusammenhängende Fläche T' übergeführt und bezeichne mit u eine auf der Fläche T stets endlich bleibende Integralfunction, welche durch eine Gleichung von der Form

für das Innere der Fläche T" eindeutig erklärt sein möge.

1

1

Es sei T, die über der -Ebene ausgebreitete, der Fläche 7 congruente Riemannsche Fläche. In Folge der gestellten Voraussetzungen entsprechen die beiden Flächen T und T, einander gegenseitig Punkt für Punkt eindeutig. Es sei T die vermöge der obigen Gleichungen für einen beliebigen Werth von a, dessen absoluter Betrag eine gewisse Grenze nicht überschreitet, der Fläche T' entsprechende, einfach zusammenhängende Fläche, und es werde das stets endlich bleibende Integral, welches für a 0 mit dem Integrale u übereinstimmt und im Punkte s, So, 21 2. den Werth 0 ȧnnimmt, mit u, bezeichnet. Ein Zweig dieser Integralfunction ist innerhalb der Fläche T eine eindeutige Function des Ortes, also ist dieser Zweig auch eine eindeutige Function des Ortes innerhalb der Fläche 7'. Da nun u, längs der Querschnitte der Fläche T dieselben Periodicitätsmoduln wie u besitzt, so hat die Differenz u,u v überall den Periodicitätsmodul 0 und ist daher, weil sie für keinen Punkt von T unendlich gross wird, eine Constante, welche von dem Parameter der Schaar abhängt und zugleich mit demselben unendlich klein wird.

Diese Constante v möge zum Parameter der Schaar gewählt und

an Stelle von a in die Transformationsgleichungen eingeführt werden. Man kann dann ohne Nachtheil für die Allgemeinheit der Untersuchung von der Annahme ausgehen, dass sämmtliche in den Transformationsgleichungen vorkommenden Coefficienten, welche als analytische Functionen des Parameters vorausgesetzt wurden, nach Potenzen der Grösse v mit ganzen positiven Exponenten fortschreitende Potenzreihen sind, welche sämmtlich convergiren, wenn der absolute Betrag |v| der Grösse v kleiner ist als eine gewisse Grösse d.

Ist nun s。, 。 ein nicht singuläres, der Gleichung F(s。, 2。) 0 genügendes Werthepaar, und s, ≈ ein ebenfalls der Gleichung F'(s, ≈) = 0 genügendes, dem vorigen benachbartes Werthepaar, so kann man jede der beiden Grössen s, z, welche die obere Grenze des Integrales

u

as

bestimmen, sobald die Veränderlichkeit der Grösse u auf ein gewisses, in der Umgebung des Werthes 0 liegendes Gebiet beschränkt wird, als eine Function der Grösse u betrachten, welche innerhalb dieses Gebietes den Charakter einer ganzen Function besitzt. Es sei die Grössed so klein gewählt, dass nicht allein die oben gestellte Bedingung erfüllt ist, sondern überdies die, dass die soeben erklärten Functionenelemente

für alle Werthe von u, deren absoluter Betrag kleiner als d ist, den Charakter ganzer Functionen besitzen.

Unter dieser Voraussetzung können also die beiden Functionenelemente in der Form von Potenzreihen dargestellt werden, welche nach Potenzen der Grösse u mit ganzen positiven Exponenten fortschreiten und für alle Werthe der Grösse u, deren absoluter Betrag kleiner als d ist, convergiren.

Auf dieselbe Weise ergeben sich die Gleichungen

und, wegen der Gleichung ", uv, sobald jede der beiden Grössen

u und v dem absoluten Betrage nach kleiner als d ist,

1

v (u+v), ≈, = x(u+v).

In Folge der Gleichungen