Sur une définition erronée de l'aire d'une surface courbe. Communication faite à M. Charles Hermite. Cours de M. Hermite, professé pendant le 2e semestre 1881-82, second tirage, Paris 1883, p. 35-36. Après avoir donné la définition suivante: "Soit une portion de surface courbe terminée par un contour C; nous „nommerons aire de cette surface la limite S vers laquelle tend l'aire d'une surface polyédrale inscrite formée de faces triangulaires et terminée par un contour polygonal I ayant pour limite le contour C“.*) M. J. A. Serret continue ainsi: „Il faut démontrer que la limite S existe et qu'elle est indépendante de la loi suivant laquelle décroissent les faces de la surface polyédrale inscrite". Si l'on voulait examiner la démonstration de cet énoncé essayée par l'illustre savant, on trouverait qu'elle donne lieu à des objections sérieuses, mais il n'est pas nécessaire de faire cet examen. On pourra démontrer, au contraire, que, si la surface donnée est une surface courbe et si le polyèdre inscrit n'est pas assujetti à certaines conditions additionnelles et restrictives (par exemple, que chaque face du polyèdre fasse un angle infiniment petit avec le plan tangent de la surface en un point infiniment voisin de cette face) l'aire de la surface du polyèdre inscrit peut surpasser une quantité donnée. Il suffira, pour démontrer cette proposition, d'appeler l'attention des géomètres sur un seul exemple d'un tel polyèdre inscrit satisfaisant à toutes les conditions comprises dans l'énoncé de M. Serret, et dont l'aire peut surpasser une grandeur donnée. Désignons par x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point, par u, v deux variables indépendantes, par r, h deux constantes, et par m, n, a des nombres entiers positifs. *) J. A. Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, tome second, page 296 de la première édition, page 293 de la deuxième édition. Les équations X r cosu, r sin u, v, 0 ≤ u = 2x, 0 ≤ v = h Z représentent un cylindre droit dont la surface courbe a l'aire 2rah. A ce cylindre on peut inscrire un polyèdre à 4mn faces triangulaires qui satisfait aux conditions suivantes: 1o. Tous les sommets de ce polyèdre sont donnés par les 2o. Toutes les faces triangulaires sont isocèles et congrues entre elles. 3o. Les bases de tous ces triangles isocèles sont situées dans les plans z = v', z = v". La base et la hauteur d'une face triangulaire ont les longueurs : Par conséquent l'aire totale du polyèdre inscrit a la valeur: Π h 2 S' = 4mur sin ()√4r" sin' ()+(4). De cette formule on conclut : 1o. Si l'on fait n 2m n ат, on a la limite cherchée S 2 rah am, on trouve que la limite S de l'aire S' Il est évident que la valeur de cette limite dépend du nombre a et qu'elle peut surpasser une grandeur donnée. am3, on trouve que l'aire S'est plus grande que Dans ce cas, il n'y a plus de limite pour la quantité S', car cette quantité surpasse, pour lim. m∞o, une grandeur quelconque donnée. De ce qui précède on conclura que la définition de l'aire d'une surface courbe donnée par M. Serret doit être modifiée par l'addition d'une condition restrictive concernant la construction du polyèdre inscrit en question. Fig. 23. La figure 23 représente un des polyèdres inscrits dont il vient d'être question. Bestimmung der scheinbaren Grösse eines Ellipsoids für einen beliebigen Punkt des Raumes. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-AugustsUniversität zu Göttingen, Jahrgang 1883, Seite 39-50. Die Bestimmung der scheinbaren Grösse eines Ellipsoids für einen beliebigen, ausserhalb desselben liegenden Punkt des Raumes bietet ein recht geeignetes Beispiel der Anwendung der elliptischen Functionen auf eine geometrische Aufgabe. Bei der folgenden Behandlung dieser Aufgabe mache ich, mit Absicht nur eine kleine Zahl von Sätzen der analytischen Geometrie als bekannt voraussetzend, von der Bezeichnungsweise Gebrauch, deren sich Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen über elliptische Functionen seit einer Reihe von Jahren bedient. Es sei cefor 2 ·1 0 die auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem bezogene Gleichung eines Ellipsoids. Gesucht ist die scheinbare Grösse dieses Ellipsoids für den ausserhalb desselben liegenden Punkt P, mit den Coordinaten xo, yo, 20, 09 XX t +a2 't+b2 't+c2 2 und legt in diesen Ausdrücken dem Parameter t denselben Werth bei, so ist F(x, y, ; t) = 0 die Gleichung einer zu dem gegebenen Ellipsoide confocalen Fläche zweiten Grades und f(x, y, z; t) = 0 die Gleichung des vom Punkte P. aus an diese Fläche gelegten einhüllenden Kegels. Die elliptischen Coordinaten des Punktes P., die Wurzeln der cubischen Gleichung F(x。, Yo, 。; t) 0, mögen mit t1, ta, ta bezeichnet werden, wobei die folgenden Bestimmungen getroffen werden mögen: të (t — t1 ) ( t — t2 ) ( t ~ tz) 2 2 2 (t + a3) (t + b2) (t + c2) ' (t+a2) (t + b2) (t + c2) geht f(x, y, z ; t) über in eine ganze Function zweiten Grades der Grösse t (t+a2) (t+b3) (t+c2) f(x, y, & ; t) = g(x, y, ≈ ; t) = g(t) = G1+ G ̧t + G2ť3, z und zwar hat der Coefficient von 2 den Werth 0 2 21 Wenn dem Parameter t einer der drei Werthe t1, ta, t, beigelegt wird, so geht der Kegel f(x, y, z ; t) 0 in eine Doppelebene über. Die drei durch diese Betrachtung sich ergebenden Ebenen sind die Tangentialebenen an die durch den Punkt P, hindurchgehenden und mit dem gegebenen Ellipsoide confocalen Flächen zweiten Grades, und zwar stehen je zwei dieser drei Ebenen auf einander senkrecht, wie aus der geometrischen Interpretation der Gleichung 0 Durch diese Formel ist die Gleichung des Kegels g(t) O auf die Hauptaxen desselben bezogen, denn die Grössen g(t) sind die Quadrate von drei linearen Functionen der Coordinaten, und die drei |