für s und s, ihre Ausdrücke durch die 6-Functionen, so erhält man durch Anwendung der zwischen den Quadraten der verschiedenen 6-Functionen bestehenden Gleichungen und mit Hülfe der Additionstheoreme der 6-Functionen die folgenden Gleichungen Für das Quadrat der Länge des Linienelementes dL der Kugelfläche erhält man den Ausdruck Bezeichnet man nun die Ausdrücke λ(2u), λ(2vi) beziehlich mit A1, A2, so bestehen die Gleichungen و 29 Den Curven der Ebene (u+vi), für welche der reelle Bestandtheil des Argumentes der Function einen constanten Werth hat, entspricht daher bei der betrachteten stereographischen Projection dieser Ebene auf die Kugelfläche (I.) die Schaar der sphärischen Curven, in welchen diese Kugel von der Schaar der confocalen Kegel zweiten Grades (II.) geschnitten wird. Denjenigen Curven hingegen, für welche der imaginäre Bestandtheil des Argumentes der Function einen constanten Werth hat, entspricht die Schaar der sphärischen Curven, in welchen die Kugelfläche (I.) von der Schaar der confocalen Kegel zweiten Grades (III.) geschnitten wird. Beide Curvenschaaren sind zwei Schaaren confocaler sphärischer Kegelschnitte, deren Brennpunkte durch die Gleichungen 1 folgt, dass die dem Werthe uu, und die dem Werthe u∞,-U entsprechende sphärische Curve auf demselben Kegel zweiten Grades liegen. Dieselbe Folgerung bezieht sich auf die den Werthen vv, v。 entsprechenden sphärischen Curven. Den Werthen und v ∞ 3 0 entsprechen die in den Ebenen X 0 und Z= 0 liegenden grössten Kreise der Kugel. Der Fläche des zuerst betrachteten Rechtecks entspricht die auf der negativen Seite der Ebene Y 0 liegende Halbkugelfläche, und zwar ist die Abbildung der Vorderseite der ersteren auf die Innenseite der letzteren eine in den kleinsten Theilen gleichstimmig ähnliche. Durch die obigen Formeln wird mithin zugleich die Rückseite der erwähnten Rechtecksfläche auf die Aussenseite der erwähnten Halbkugel in den kleinsten Theilen gleichstimmig ähnlich abgebildet. Analogerweise wird die Rückseite der Rechtecksfläche auf die Aussenseite der auf der positiven Seite der Ebene Y 0 liegenden Halbkugel in den kleinsten Theilen gleichstimmig ähnlich abgebildet. 1 Denkt man sich diese zweite Rechtecksfläche durch Umfaltung um die Strecke 0...o, mit der Vorderseite der vorher betrachteten Rechtecksfläche zur Deckung gebracht was einer Vertauschung von v mit -v gleichkommt und stellt man sich sodann vor, dass beide Rechtecksflächen längs der ganzen Begrenzung eine Falte bildend zusammenhängen, so erhält man einen speciellen Fall der im 70ten Bande des Journals für reine und angewandte Mathematik auf Seite 124 von mir untersuchten Abbildung. *) *) Siehe S. 87 und S. 88 dieses Bandes. Beweis des Satzes, dass die Kugel kleinere Oberfläche besitzt, als jeder andere Körper gleichen Volumens. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, Jahrgang 1884, Seite 1-13. Um den Satz zu beweisen, dass die Kugel kleinere Oberfläche besitzt, als jeder andere Körper gleichen Volumens, hat man sich verschiedener Schlussweisen bedient, welche im Wesentlichen auf der Voraussetzung beruhen, dass es unter allen Körpern gleichen Volumens einen gibt, welcher ein Minimum der Oberfläche besitzt. So lange aber der in dieser Voraussetzung enthaltene Lehrsatz nicht ebenfalls bewiesen ist, kann keine der erwähnten Schlussweisen als Beweis des angeführten Satzes gelten. Bei dem Versuche, für diejenigen Körper, deren Oberfläche von einer endlichen Anzahl von ganz im Endlichen liegenden Stücken analytischer Flächen gebildet wird, den im Eingange angeführten Satz direct zu beweisen, bin ich auf ein Beweisverfahren geführt worden, welches dem Einwande mangelnder Strenge nicht ausgesetzt zu sein scheint. Dieser Beweis, dessen Darlegung den Gegenstand der vorliegenden Mittheilung bildet, beruht auf der wiederholten Anwendung eines Schlussverfahrens, dessen sich Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen über Variationsrechnung bedient, und dessen Kenntniss ich einer gütigen mündlichen Mittheilung desselben verdanke. § 1. Es bezeichne A einen von einer Kugel verschiedenen Körper, dessen Oberfläche B von einer endlichen Anzahl von Stücken analy tischer Flächen gebildet wird. Diese Flächenstücke werden als von singulären Stellen frei vorausgesetzt. Die Punkte der Oberfläche B beziehe man auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem, welches so gewählt sein möge, dass kein Theil von B der yz-Ebene des Coordinatensystems parallel ist. Es sei x。 der kleinste, x, der grösste aller in Betracht kommenden Werthe der Coordinate x. 1 In einem beliebigen Punkte P der Oberfläche B, welcher nicht einer Kante derselben angehört, und dessen rechtwinklige Coordinaten x, y, z sein mögen, denke man sich die Normale der Fläche construirt und die positive Richtung derselben so fixirt, dass diese an der betrachteten Stelle in Bezug auf den Körper 2 die Richtung von Aussen nach Innen angibt. Der Winkel, den die positive Richtung dieser Normale mit der positiven Richtung der x-Axe einschliesst, werde mit & bezeichnet. Durch den Punkt P denke man sich zu der ya-Ebene des Coordinatensystems eine Parallelebene & gelegt. Diese hat mit der OberE fläche im Allgemeinen eine oder mehrere Curven C gemeinsam. Die Gesammtheit dieser Curven möge als eine Curve aufgefasst und mit C bezeichnet werden, während dy, dz die Coordinaten eines vom Punkte P ausgehenden Elementes der Curve C bezeichnen, welches die Länge ds besitzt. Man kann festsetzen, dass die Anfangspunkte für die Zählung der Bogenlänge s auf den Curven C2 (x < x < x ̧) eine oder mehrere auf der Oberfläche B liegende analytische Linien bilden. Die Grössen a und s mögen als die unabhängigen Variablen gewählt werden, als deren Functionen die Coordinaten x, y, z eines beliebigen Punktes der Oberfläche B betrachtet werden sollen. In Folge der im Vorhergehenden angegebenen Voraussetzungen ist es stets möglich, durch eine endliche Anzahl von Ebenen, welche der yz-Ebene des Coordinatensystems parallel sind, die Oberfläche B in eine endliche Anzahl von schalenförmigen, beziehungsweise ringförmigen Flächenstücken so zu zerlegen, dass für jedes dieser Flächenstücke die Coordinaten y und eines beliebigen Punktes eindeutige und im Allgemeinen stetige Functionen der beiden unabhängigen Variablen und s sind. Besteht die Curve C nicht aus einem Stücke, sondern aus mehreren getrennten Theilen, von denen jeder eine geschlossene Linie ist, so ist für diese Theile eine bestimmte Reihenfolge und für jeden derselben ein bestimmter Anfangspunkt der Zäh |