nommen haben. Ob der kleine Zusak, welchen ich in dem Art. Quadratur, 145, bey der von diesem großen Geometer angegebenen Methode der mechanischen Quadraturen angebracht habe, so bedeutend ist, daß es sich der Mühe verlohnt, ihn auf die Fälle von mehr als drey Ordinaten auszudehnen, muß ich dem Urtheile der Sachverständigen überlassen.

Die Weitläufigkeit des Artikels: Summirung der Reihen, wird man nach Durchlesung desselben vermuthlich nicht tadeln, zumal, wenn man erwägt, wie wichtig dieser Gegenstand ist, und daß man selbst in dem großen, hierher einschlagenden Werke von Lacroix nicht alles denselben betreffende bekannte in einer schicklichen Ordnung beysammen findet.

Hiermit empfehle ich diese Arbeit der gütigen und nachsichtsvollen Aufnahme der geneigten Leser, mich selbst aber der Gewogenheit derselben.

Geschrieben an der Leipziger
Jubilate - Messe, 1823.

Mathematisches Wörterbuch,

oder

Erklärung der Begriffe, Lehrfäße, Aufgaben und Methoden der Mathematik, mit llterarischen Nachrichten in alphabetischer Ordnung.

Erste Abtheilung. Arithmetik, Analysis und Geometrie, die niedere und die höhere.

2.

Quadranguluni, Biereckige Figur, f. Viereck.

Quadrant ift der vierte Theil des limfanges ei nes Kreises; auch ein Sector, welcher der vierte Theil der Kreisfläche ist. Es gehört dazu ein rechter Winkel am Mittelpuncte.

Quadrant heißt auch ein Instrument zur Mess sung der Winkel in der Astronomie und praktischen Geos metrie. Es wird auf verschiedene Arten eingerichtet.

Von der Eintheilung des Quadranten s. die Artis kel, Grad und Maß, Th. III. S. 601.

Quadrantal-Dreyeck, sphärisches, ist ein sol

hes, worin eine der Seiten ein Quadrant ist.

Quadrat ist eine ebene geradlinichte Figur mit vier

gleichen Seiten und vier rechten Winkeln.

-

Wie ein Quadrat über einer gegebenen Linie gezeichnet wird, zeigt Euklides, B. I. S. 46.

Ein Quadrat zu zeichnen, welches so groß ist als wen gegebene zusammengenommen, folgt aus dem pythagorischem Lehrsage.

Ein Quadrat zu zeichnen, welches der Unterschied zwener gegebenen Quadrate sen, beschreibe man über des größern Seite, a, einen Halbkreis, trage in denselben von dem einen Endpuncte die Seite b des zweyten Quadrats als Chorde, und ziehe dann die Chorde, c, des Comple: ments zum Halbkreise, so ist diese die Seite des verlangten Quadrats. — Denn die beiden Chorden machen mit einander einen rechten Winkel (Kreis, 20.); daher ist bb +ccaa, das ist cc aabb.

Die Diagonale eines Quadrats ist mit der Seite der Länge nach incommensurabel, d.i. verhält sich zu derfelben nicht, wie eine ganze Zahl zu einer ganzen. Dieses beweiset Euklides, erst am Ende seiner arithmetiz schen Elemente, auf zweyerley Weise, durch den Widerspruch, worauf die Annahme der Rationalität des Vers hältnisses führt.

2

Allgemein ist der Sah: das Verhältniß der Kas theten eines rechtwinklichten Dreyecks sey=1: p, und p eine ganze Zahl, so ist das Verhältniß der Hypotenuse zu jeder der Katheten ein irrationales, Gefeßt, das Verhältniß der kleinern Kathete zu der Hypotenuse könne je ein rationales, m: m+n, feyn, so ist 1:1 + p2 = m2: (m + n), daher 1 : p2 m2: 2 mn + n3, und m2 p2 (2m + n) n. Ist das Verhältniß, m: mn, in den kleinsten ganzen Zahlen ausgedrückt, so has ben auch m und n keinen gemeinschaftlichen Theiler. Nun müßte das Product (2m + n) n durch m theilbar seyn, wie es das gleiche m' p ist. Da aber der eine Factor n weder durch m selbst, noch durch einen Factor von m theilbar ist, so müßte der andere Factor, 2m+n, durch m theilbar seyn. Die Division giebt den Quotienten, 2+ welcher keine ganze Zahl ist. Das Verhältniß der kleinern Kathete zu der hypotenuse ist also ein irrationales, daher ist auch das Verhältniß der größern Kathete, welche ein Vielfaches der kleinern ist, zu der Hypotenuse ein irrationales.

m

Quadratgrad ist eine Meß Einheit, die auf verschiedene Art bestimmt werden mag.

Erstlich für ebene Flächen ist sie ein Quadrať, zit dessen Seite die Länge des Bogens von einem Grade auf dem Umfange eines gegebenen Kreises genommen wird, auf ähnliche Art, wie Quadratfuß, Quadratzoll die Quas drate über einem Fuß, einem Zoll, bedeuten. Der Halbs messer des Kreises sena, so ist der halbe Umfang

ra (Cyklometrie, Th. I. S. 642.). Also ist

185

Kreisfläche, durch den Halbmesser a ausgedrückt, ist = Taa. Sie hält also 103134 Quadratgrade näch stens.

Von dieser Meß Einheit wird man schwerlich Gebrauch zu machen finden, da man nicht leicht geradli nichte Lången durch Kreisbogen messen wird. Wenn eis ne Kreisfläche zur Meß-Einheit dient, so könnte der Quas dratgrað für den Bruchtheil zur Einheit genommen wer

ben.

Zwentens Theile einer Kugelfläche lassen sich bes quem durch ein gleichseitiges und gleichwinkliges sphäris sches Viereck angeben, auf ähnliche Art wie ebene Flas chen durch das Quadrat einer bestimmten geraden Linie. Nimmt man zu den Seiten des sphärischen Vierecks eis nen Bogen von Einem Grad, so wird ein solches schicklis cher ein Quadratgrad genannt werden, als vorher das ebene Viereck, Die Winkel desselben sind 90° 0′ 15,"17 nächstens. (Trigonometrie, fphärische). Es verhält sich zu der Kugelfläche, wie der überschuß seiner Winkel über vier Rechte zu acht Rechten, nahe wie 62,84 Sec. zu 720 Grad, das ist, wie zu 41248.

Drittens: Eigentlicher wird auf der Kugelfläche ein kreisförmiger Raum, dessen Durchmesser dem Bo gen nach Grad ist, ein Quadratgrad heißen.

Der Halbmesser der Kugel sepa, so ist dieser Flächenraum2 aa (1 cos 30')= 47 aa (sin 15, Coms planation Th. I. S. 515. Da die ganze Kugelfläche= 4 Taa ist, so verhält sich dieser Quadratgrad zu der Kugelfläche, wie (sin 15′)o: 1, das ist, wie 1:52525.

Der vierseitige Quadratgrad und der kreisförmige verhalten sich wie 52525:41248, oder wie 4: 3,141165. Das Verhältniß eines ebenen Quadrats zu dem einges schriebenen Kreise ist 4: 4: 3,141592.

Das ebene Quadrat und das sphärische, deren Seiten die Länge eines Grades von dem limfange eines gegebenen Kreises haben, verhalten sich wie 5 : 15,71 nächstens, d. i. wie 15,76796: 15,71 oder wie 1 : 1,00013 0,99987: 1.

Derebene Kreis und der sphärische, deren Durchmesser die Länge eines Grades von dem Umfange eines gegebe= nen Kreises haben, verhalten sich wie πa:7202(sin. 15′)", b. i. wie (3,141582. . .)o. Die sphärische Kreisfläche ist kleiner als die ebene, weil der Umfang kleiner ist; hingegen ist das sphärische Quadrat größer als das ebene, weil der Umfang derselbe ist wie in diesem.

Zum Beyspiele dieser Art logarithmisch, trigonome trischer Rechnungen diene folgendes, wobey der Artikel, Logarithmus, S. 88, nachzusehen seyn mag.

log. sin 157,6398160

2log. sin 15' = 5,2796320

- 10

10

Man sehe auch Kästners geometrische Abhandlun gen, zweyte Sammlung, S. 205-213 und S. 487 493. Das in diesem Artikel vorgetragene ist daraus nicht genommen.

Quadratmaßstab ist eine eingetheilte gerade Liz nie, worauf die Theilungszahlen die Verhältnisse der Quas drate von den zugehörigen Längen angeben. Er wird fol gendergestalt gezeichnet.